第14讲 复杂电路化简
1. 对称电路化简。

2. 含容电路。

3. 无穷的处理方法。

本讲一堆奇思妙想的题，希望能启发大家的思维，希望大家不要当知识学了。

尽量多想一下为什么可以这么做。

例题精讲
回顾：
【例1】 如图所示的网络中，仅知道部分支路上电流值及其方向、某些元件参数和支路交点的电势值
（有关数值及参数已标在图上）．请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻x R 的支路上的电流值x I 及其方向．
1.对称性原理
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

本讲提纲
【例2】 用导线连接成如图所示的框架，ABCD 和ABCE 是正四面体，每段导线的电阻都是1Ω。

求AB
间的总电阻。

【例3】 N 个点之间每两个之间都连接有电阻为r 的电阻，求两点间的等效电阻。

2.电流分布法
设有电流I 从A 点流入、B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I 的关系，然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压AB U ，再由I U R AB
AB =
即可求出等效电阻。

【例4】 用基尔霍夫定律解右图的等效电阻R AB ，再用“Δ→Y 型”等效法验证你的结论。

A
B
D
C
【例5】 有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。

所有六边形每边
的电阻为0R ，求： （1）结点a 、b 间的电阻。

（2）如果有电流I 由a 点流入网络，由g 点流出网络，那么流过de 段电阻的电流 I de 为多大。

4. 无穷的处理方法
数学上对于无穷集合的定义是：存在到自己的真子集的一一映射的集合。

就是说自己的一部分和自己是一样的。

我们正是利用这样的性质来解决无穷问题。

先恰当的描述无穷体系对外界的响应性质，然后将其和自己的一部分关联起来，计算出响应性质。

或者这个步骤可能叫递推关系…或者叫XXX(某个编者记不住的人名)方程…不论怎样，反正数学定义如此，不这么做实在是逆天而行…
若
，⋯++++=a a a a x （a ＞0）
在求x 值时，x 注意到是由无限多个
a 组成，所以去掉左边第一个+a 对x 值毫无影响，即
剩余部分仍为x ，这样，就可以将原式等效变换为x a x +=，即
02
=--a x x 。

所以 1
2
3
4
567
89a
b c d e g
2411a
x ++=
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。

【例6】 如图，每段导线间的电阻都是r ，计算AB 间的电阻。

【例7】 如图所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为
ρ，一连串内接等边三角形的
数目可认为趋向无穷，取AB 边长为a ，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A 、B 两点间的电阻为多大？ 立体电路
【例8】 六个相同的电阻（阻值均为R ）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图
所示。

现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为1D 、2D 、┅5D 。

现将2D 的1、3、5三点分别与1D 的2、4、6三点用导线连接，如图所示。

然后将3D 的1、3、5三点分别与2D 的2、4、6三点用导线连接，┅ 依此类推。

最后将5D 的1、3、5三点分别连接到4
D
A
B
A
B
的2、4、6三点上。

1．证明全部接好后，在1D 上的1、3两点间的等效电阻为
724
627
R 。

2．求全部接好后，在5D 上的1、3两点间的等效电阻。

（16界复赛）
【例9】 十个电容为C 的电容器按图个方式连接，求AB 间等效电容AB C 。

【例10】 如图，每边电阻都是r ，计算R AB
B
A
A
B
【例11】 由单位长度电阻为r 的导线组成如图所示的正方形网络系列.1n =时，正方形网络边长为L ；
2n =时，小正方形网络的边长为/3L ；3n =时，最小正方形网络的边长为/9L .当1n =、2、3
时，各网络上A 、B 两点间的电阻分别为多少？
【例12】 如图所示，电阻121k R R ==Ω，电动势6V =E ，两个相同的二极管D 串联在电路中，二
极管D 的D D I U -特性曲线如图所示。

试求：通过二极管D 的电流。

电阻
1R 消耗的功率。

趣味知识
Mandelbrot 集
曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形.曾被称为“上帝的指纹”。

这
个点集均出自公式: 2
1n n Z Z C +=+。

如果C 使得存在非空集合J ，使得对于任意n Z J ∈，有
1n Z J +∈，则令C M ∈；M 即为Mandelbrot 集，其中J 为C 对应的Julia 集。

左图为某个Julia
集
Mandelbrot 集是曼德勃罗特教授在二十世纪七十年代发现的.你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性.曼德勃罗特教授称此为"魔鬼的聚合物".为此,曼德勃罗特在1988年获得了"科学为艺术大奖". 图形是由美国数学家曼徳勃罗特教
授于1975年夏天一个寂静的夜晚，在冥思苦想之余翻看儿子的拉丁文字典是想到的，起拉丁文的原意是“产生无规则的碎片”
请看如下的图形产生过程,其中后一个图均是前一个图的某一局部放大
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