电路化简2．4．1、等效电源定理实际的直流电源r R I0r R可以看作电动势为，阻为零的恒压源图 2-4-1 图 2-4-2与阻 r 的串联，如图2-4-1 所示，这部分电路被称为电压源。

不论外电阻 R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。

实际电源、r 对外电阻 R 提供电流 I 为IrR r r R r其中 / r 为电源短路电流I0，因而实际电源可看作是一定的阻与恒流并联的电流源，如图 2-4-2 所示。

实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。

利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。

等效电压源定理又叫戴维a a有源网络bRR宁定理，容是：两端有源网络r0b可等效于一个电压源，其电动图 2-4-3图 2-4-4势等于网络的开路电压，阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。

如图 2-4-3 所示为两端有源网络 A 与电阻 R 的串联，网络 A 可视为一电压源，等效电源电动势0 等于 a 、b 两点开路时端电压，等效阻r等于网络中除去电动势的阻，如图 2-4-4 所示。

等效电流源定理又叫诺尔顿定理，容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的I等于网络两端短路时流经两端点的电流，阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。

例 4、如图 2-4-5 所示的电路中，3.0V ,1.0V , r 0.5 , r 1.0 ,R10.0 , R5.10r 1 ,R 31 2 1 2 12 EDR4.5 , R 19.0BR234R 1（ 1）试用等效电压源定理计算从电源 2、r 2AC正极R 4流出的电流I2 ；（ 2）试用等效电流源定理计算从结点2r 2B 流向节点 A 的电流 I1。

图 2-4-5分析： 根据题意，在求通过 2 电源的电流时，可将ABCDE 部分电路等效为一个电压源，求解通过R1 的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。

解： （1）设 ABCDE 等效电压源电动势0 ，阻 r0 ，如图 2-4-6 所示，由等效电压源定理，应有R 11.5Vr 21r 1 R 1 R 2R 3r 0R 1 r 1R 2 R 352r 2R 4r 1 R 1 R 2 R 3电源、r0 与电源2、r2 串联，故图 2-4-6I 220.02Ar 0 R 4 r 2I2 ＜0，表明电流从 2 负极流出。

（2）将 A 、B 两个节点短接，构成等效电流源（I 0、r0 ）如图 2-4-7 所示，由等效电流源定理，I0为原电路流经A、B短接后的支路电流。

因为有1、2两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其容为：若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支路产生的电流之和。

由叠加原理I 0r0I 0 1 2 0.35Ar1 R3 R2 r2 R4A R1B(r1 R3 R2 )( r2 R4I 1 )r0R3 R2 r2 R4 6.7图 2-4-7r1由r0 和R1 的分流关系I 1 r0 I 0 0.14 Ar0 R12．4．2、Y—△变换在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y 型或△，如图 2-4-8 所示，有时把Y 型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y 型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y 型联接三个端纽的电压U 12、U 23、U 31及流过的电流 I 1、I 2、I 3与△型联接的三个端纽相同。

在 Y 型电路中有I1R1 I 2R2 U12I 3R3 I1R1 U 31 I 1 I2 I3 0可解得I 11 2 1 R122 R I 2I 1 I 2R1 2O R31 R23R3I 3 I 33 3图 2-4-8R3U 12 R2U 31I 1R2 R3 R3 R1 R1R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2在△型电路中I 12 U12 R12I 31 U31 R31I 1 I12I31I 1 U12U31 R12 R31等效即满足：U 12 U 31 R3U12 R2U 31R12 R31 R1R2 R2 R3 R3R1 R2 R3 R3R1R1R2R12 R1R2 R2 R3 R3 R1R3即①R31 R1R2 R2 R3 R3 R1R2 ②R23R1 R2 R2 R3 R3 R1R1类似方法可得③①、②、③式是将Y 型网络变换到△型电路中的一组变换。

同样将△型电路变换到Y 型电路，变换式可由①、②、③式求得：④、⑤、⑥R1 R12 R31R23 R31R12 ④R2 R12 R23R23 R31R12 ⑤R3 R31 R23R23 R31R12 ⑥I11 16 64 V例 5、试求如图 2-4-9 所示电路中的电流。

2312 1 36分析： 这是包含一个 Y 型电路和一个△型图 2-4-9电路的网络，解决问题的方向可将左边 Y 型网络元变换成△型网络元，或将右侧△型网络元变换成Y 型网络元。

解：将左侧 Y 型网络换成△型，如图 2-4-1011 R 12 R316 612314 V3所示已知 RRR2R 2332 6则有R 1 R 2 R 2 R 3R 3 R 1图 2-4-103R 12R 3R 1 R 2 R 2 R 3R 3 R 13R 23R 1R 1 R 2 R 2 R 3 R 3 R 13R 31R 24V22 66由图 2-4-10，可进一步电路整理为图 2-4-11264所示。

R 总图 2-4-113R总4将右侧△型网络元换成 Y 型网络元同样可求得3，这里不再叙述。

2．4．3、 对称性原理①等势节点的断接法在一个复杂电路中， 如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也ACBD图 2-4-12可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。

例 6、用导线连接成如图 2-4-12 所示的框架， ABCD 和 ABCE 是正四面体，每段导线的电阻都是 1。

求 AB 间的总电阻。

解： 设想 A 、B 两点上存在电势差UAUB，由于电路的对称性可以知道D 、C 、两点的电势都应该介乎UA与UB的中间，即U (UAU B) / 2，所以两点应是等电势的。

这样，去掉CD 段导线，对 A 、B 间的总电阻不会有影响。

当去掉 CD 段导线后，就成为三路并联， 即 A —D —B ，A — C —B ，和 AB 。

于是：11 1 1 2R 总22R 总 0.5( )②电流分布法设有电流 I 从 A 点流入、 B 点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想， （即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流 I 的关系，然后经任一路径计算 A 、B 两R AB U ABI 即可求出等效电阻。

点间的电压UAB ，再由例 7、 10 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图 2-4-13 所示的网络，试求出 、A B 两点之间的等效电阻RAB 。

由结构对称性，要求电流 I 从A 点流入后在 A 点B的电流分布应与电流 I 从 B 点流出前的电流分布相A同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右图 2-4-13电流分布对称，因此网络电流分布应如图 2-4-14 所示。

对图中 C 点和 D 点，有电流关联I I 1 I 2 I 1 I 2 I 1I 2 I 2II 1I 1 I 21 I ①解得 2由 A 、E 两点间不同路线等电压的要求，得E I 1I2II 1BI 1 2r (I I 1 ) rI 2 rDA即 3I 2I 1I I I 1CI1I 2②图 2-4-14解①、②两式得3 1 I 1I,I 2I88选择线路 AEDB ，可得U AB I 1 2r I 1 I 2 rII 1 r15 Ir 8因此， A 、B 间等效电阻便为U AB15 R ABrI82．4．4、 无穷网络等效变换法若xa aaa ，（a ＞0）在求 x 值时，x 注意到是由无限多个a 组成，所以去掉左边第一个 a对x 值毫无影响，即剩余部分仍为 x ，这样，就可以将原式等效变换为 xa x ，即 x 2x a 0。

所以x 11 4a2这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。

例 8、如图 2-4-15 所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为，一连串接等边三角形的数目可认AB为趋向无穷，取 AB 边长为 a ，以下每个三角形的边长依 图 2-4-15次减小一半，则框架上 A 、B 两点间的电阻为多大？从对称性考虑原电路可以用如图2-4-16 所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为R AB/ 2的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“”三角，并且电阻是 R AB 这样的， R ABR x ，Ra 因此R / 2R / 2RR x / 2RR x / 2 R x / 2R RR / 2 R / 2R x R RR R x/ 2BR R x/ 2A R 解此方程得到R AB R x7 1 R 1 7 1 a3 3图 2-4-162．4．5、 电流叠加法解题步骤是：先考虑一支流入或流出系统的电流， 把它看作在给系统充电或放电，利用对称性求出系统中的电荷分布和电流场分布， 求出每一支电流造成的分布后进行叠加，使得电荷分布全部抵消，而电流场叠加作为所求的电流场。

例 9、有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边3 214cab9g形网眼组成，如图 2-4-17 所示。

所有六边形每边的电阻为R 0，5d 6e 87求：（1）结点 a 、b 间的电阻。

图 2-4-17（2）如果有电流 I 由 a 点流入网络， 由 g 点流出网络，那么流过 de 段电阻的电流 I de 为多大。

解：（1）设有电流 I 自 a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有I / 3 电流由 a 流向 c，有I / 6 电流由 c 流向 b。

再假设有电流 I 由四面八方汇集 b 点流出，那么必有 I / 6 电流由 a 流向 c，有I / 3电流由 c 流向 b。

将以上两种情况综合，即有电流 I 由 a 点流入，自 b 点流出，由电流叠加原理可知I I IIac6 2 （由a流向c）3I cbI I I3 6 2 （由c流向b）因此， a、b 两点间等效电阻U AB I ac R0 I cb R0R0R ABII（2）假如有电流 I 从 a 点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设I 1 I 4 I 7 I AI 2 I3 I5 I6 I 8 I9 I B应该有3I A 6I B I、d 两点关于 a 点对称，所以因为 bI de I be 1 I A 2同理，假如有电流 I 从四面八方汇集到g 点流出，应该有I de I B最后，根据电流的叠加原理可知I de I de I de 1I A I B 1 3IA 6I B1 I2 6 6以上几种方法可实现电路的化简。