第一章行列式一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A | = |A T|.（行列互换，行列式不变）性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式.a ua i2a i3anai2^13ka na i2a i3a2Xa22a23 — ka 2xka’2 転23 = ka 2}a22 a23角1 a 32 «33a 3i角2 。

33脳31«33若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.坷 1坷］a n 纠341 a n 坷 3a21+b l a 22+b 2 如+4—a 21 a 22"23+ b l b 2 S。

31 “32 。

33。

31 “32 “33。

31 “32 “33 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列（行） 对应的元素上去，行列式不变.a\\a i2ai3au a n + ka !3 a i3 aCL CLa CL + kaaW21 u 22w23^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33°31 “32 + 氐 °33 。

33性质7 （Laplace 定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和，BP ： | A| = a ix A i} + a i2A i2 + • • • + a in A in （1 = 1,2,• • •, n ）推论2性质4 。

21 ^22a31 “32ka [{ ka {2。

13。

23a 33 。

21 °3a n"12 "13 a22 ^23a 32= 40 = 0性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.二. 行列式的计算 1、字母型(用性质求值)2a I 】(1)、若三阶行列式£>= a tJ =3,则2°3i"1 “3—2d] -2^2—2a*(2)、若三阶行列式D = S b 2 g=-1,则 -2叽-2b 2 -2b.C] c 2 c 3-2C] -2C 2 -2C 32、四阶行列式计算降阶计算。

练习题：1. -2 01 012 3 4 12 3 412 3 412 3 4 2 3 4 1 0 ・1 -2 -70 -1 ・2 -70 -1 ・2 -73 4 120・2 -8・100 0 ・4 4U 0 ・4 4 4 12 3 0 ・7 -10 ・130 0 4 360 0 0 40 =160. (1)、 3 1141111 3 12 112-10=12 (3)、1-10 313 6-9 13 111 2 10 -7 ⑵、=25 a 】】a\24% 2a lt -3a l2 a n3.若a 2X a 22 a 23=1,则 4如 2^21 3^22 。

21a3\a32a334皎 2。

3] — 3。

32 偽](A) -8(B) -12(C) 8)・(D)121 2 计算行列式: 3 1 -1 042=-24. 5- 2 4 2 2 0 5 -35 1二—42 4(3)、若三阶行列式D=a tj =5,则 原则：将某行(列) 除某个元素外, 其它元素都化为0,再利用Laplace 定理, -52 = 01 3 11 •计算行列式D=l ° 1 — 11 213121 3 5 r 0 -3 解D 二0 -4 ,/j-1 1 240 1 -2r0 0 -2 I°宁 -1-3-30 04 3 4 32 -2 23 _7 ~3-3 012 20 1 0 0-11 4 3 0 -223-3= 1x(—3)x( 一扌)x(—3) = —12.第二章矩阵及其运算、矩阵的运算 1、矩阵加减法S3、矩阵乘法：俎心，〃如则= C“z = (eu)mxn，其中cij =E %bkj k = \(1) 一般地，AB^BA ・(2) 一般地，AB=O^A = O^B = O ・ (3)AB = AC±B = C ・AB = AC^AB-AC = O=>A (B-C )= 0^A = O^B-C = ()•(4) 若A 〃 = 4C,则当A 满足|4| HO 时,B = C ・ (5) (A + B)2^ A 2+ 2AB + B 2;(A+B )(A-B )^ A 2-B 2;(6)^AB=BA,则称A,〃可交换.若A 与妨,〃2可交换，贝1U 与可交换・=>A (Bd) =(AB )B2=(B4B2 = B 、(ABj = B 】(B2A )=(Bd )A.(町=A; (A + Bf = A 7" + B T ; (M)r = M 7; (Afif 二 B T A T5、有关对称矩阵：若4r= A,则称A 为对称矩阵。

(1) A,B 为同阶对称矩阵分AB 也是对称矩阵.((AB)7 ^B T A T= BAJBBA 丰 AB ・)(2)2、 矩阵的数乘也=AB. = B.A AIi 2 = B 2A(7)Amxn•AE n = E lt ,A =A ^A IX /I ME” = E” A = A ・ 4、 矩阵的转置A"是对称矩阵，也是对称矩阵.二、方阵仏1、方阵的行列式|A|ki=H ； IM = F A ; \AB\ = \A\\B = BA . A =2,则\2A\= 16 , 2A =-16(-2 1、A =U -1,(_63、贝'J3A= 93 ,|3A|=・9 ・2、方阵的逆矩阵(1)定义:若方阵4 B 满足人〃=£或34=£,贝=4”可逆，则A"唯一・(2) A “可逆o |A|工0 o A 是非奇异矩阵o 心)卄 &满秩. (3) (A -1)"1 = A;(以)"=+屮("0)；(AB)1 = B _,A(A r )_1=(A-1)7；(AB )k ^A k B k ;A k+l = A k A l ;(A k )l =A kl . 3、有关可逆阵(1) 若矩阵人皿前足是可逆的・(x)(2) 若AX = B ，且A 可逆，则X = AT {B ・若XB=A ，flB 可逆，则X = AB {・ 若AXB = C,且可逆，贝\\X = A-{CB-{. 若 P4P" = B ，则 A = P~l BP. A H = P~x B ,l P.三、初等变换反例：A =但A 不是方阵,(\ 0),B= 0 1 ,AB = E 2 = ,0 0丿不会是可逆阵。

0 0、 1 0><1 0、 <0 L2、 行阶梯型矩阵、行最简型矩阵3、 初等矩阵：由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵 彳亍：町㈠兮；Z T ；(R H O );斤+ kq; 列q ㈠ Cj;辰：(E H 0); c, + 0・ 初等矩阵*人：相当于对A 施行相应的初等行变换; A*初等矩阵：相当于对A 施行相应的初等列变换。

初等矩阵不改变方阵的非奇异性四、 矩阵的秩 1、 秩：矩阵A 的非零子式的最高阶数，记为r(A)o 2、 性质： (1) r(A )= 0 <=> A 为零矩阵. (2) r (A r ) = r (A )・(3) mxn 矩阵A 的秩r( A) < min{7w,w}・ (4) 初等变换不改变矩阵的秩 五. 练习题1、矩阵的运算(2 一2、(1) A 二 A 丫，贝W = ____________ M"1 = __________I 。

—1丿A 2 = _______________ ，3A = __________________ ・ (1 2、⑵设珂3 J 则宀———‘311、(4) W(X )=X 2-X -1,A= 31 2 J'J/(A )= 11 -1 o 丿1 0 f -1 2、 ‘32 1、0 2 1 0 3 0 3 1,\Z1 1 1、2 5,(5)(6)1、初等变换:2\ ，则 3A — 2〃 =________ ,AB =(3)2、 (3 4丿叫2(7)己知矩阵人=0<0 2 0 ,则R(A)= 4 0,2、求逆矩阵-2、1 ，贝lj2B r-A =2丿0 0、方法二：利用伴随矩阵求逆矩阵A1A方法三：利用逆矩阵定义，求逆矩阵例：若仙阶矩阵，满足屮_34+£ = 0」14-£可逆，并求（4-町1 证明:v A2-3A +E = 0,・・・A为方阵，・・・（A-E）（A-2E）= E,两边取行列式，得：|A-E||A-2E| = 1・・・A-E^O:.A-E可逆，且（A — E），二A — 2E・‘ 2 2 3、（1）A- 1 -1 0，求犷・1-1 2 1丿‘1 00>[3)(2)A- 1 109 B =5，解方程AX = B.J 1b3丿解：⑴・・・|A| = 1HO，・・・A可逆；（2）求A'1;⑶求X = ・3、求矩阵的秩M4）方法：人初箜变换〉行阶梯型矩阵B r（A）= B^非零行的个数.r0 1 1 ・1、0 2 2 2⑴从0 .1 .1 1 '则「⑷——k l 1 0 0>‘17 -f-1 4 0 riI z x（2）人二i 7 —，则心）------------< 3 -1 -!>练习题：1. 设4〃均为〃阶方阵，下列命题中正确的是( (A) (AB)T = A T B T(B)若A/B ,则|A|H |B(C )|A + B | = |A |4-|B |(D )A 2 3 4-E =(A -E )(A + E )2. 设4阶矩阵A 二a%』2,73),B = (0，7|』2』3),其中a,0，7i 』2』3是4维列 向量，J&|A| = 2,|B| = 3,则\A + B\=( ).(A) 10(B)5(C) 40(D) 203. 设A 为三阶可逆矩阵，且|A| = 3,贝ij|2A-! = __________ ・ 4 •设A 为3阶矩阵,且|A| = 3,则|2A| = ( ). (A)3(B)6 (C) 12(D) 24一5•设4 = ，则M =・(2 3丿6. 设 3 维列向量a = (l,-1,2/, >5 = (0,1,1)7,则”一20 二 。

7. 设A,B 均为斤阶方阵，则必有()・(A) AB = BA (C) A-B = B-A(B) ||A|B| = |A|LjB(D )|A +B | = |A |+|B |(2)由 AX = 2X + A 得(A — 2E)X = A.因为 |A —2E| = 1H O,2 1)& 设 A 二 ,且 AX = 2X + A, (1)求 A — 2E ； (2)求 X.1-1 2 丿(1) A-2E="-2(T‘0 -1、 '2 P-2、,1 0?— 2丿、2X = (A-2E)~iA所以A-2E 可逆，H(A —2E 尸‘0 -1、 J o>(A)A-E (B)E-A (C) A/3 (D) iiEA 2 -A = 3E,A(A-E) = 3E,A[-(A-E)] = E,所以 A 可逆，且 A" =-(A-E)of 1 3) <3 2(3 9] <6 45、 3A — 2B = -2=（2 4 J 厶r 丿 <2 3> I 12 丿一 <4 6丿<2 6y 解（1） <1 3、 \y <3 2、，1X 3+3X 2 Ix2+3x3>y ir <2 4丿 X <2 3丿、2x3 + 4x2 2x24-4x3；<14 16, AB = 9.设 A =3、4, <3 2、<2 3,AB ; (3) A'1.10. -23、 2 丄 2>设A,B 为三阶方阵，且满足A [BA = 6A^BA, A,求A"及B.A -1(30 <0 \、 0 7（屮一砂=6£・7>,= + 两边右乘 ,得 A'}B = 6E + B ,即A 1-E =<20 <00、0 , A-l -E 可逆且 6丿0、 0 r11.设方阵A 满足A 2-A-3E = O 9 贝!j(A-E)-,=( (A-E)/3A _,)<3(0(A-'-EY'第三章线性方程组一、n 维向量、向量的线性相关性1、线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩 利用定义证明向量组的线性相关性例1：已知线性无关，则少+硯‘弼+。