永磁同步电机矢量控制的理解
作者：fly0218
一、先验知识： 1.定子、转子磁势相对静止是产生平均转矩维持电机稳定运行的必要条件。形象的看，如果 两个磁场之间有相对运动，必然时而 N 和 S 极相遇，互相吸引；时而 N 和 N 相遇，又互相 排斥，平均转矩为零。
2. 在定子三相绕组中通入正弦电流：
ia = Im cos(ϕ +θ ),ib = Im cos(ϕ +θ − 2π / 3), ic = Im cos(ϕ +θ + 2π / 3)
知要实现转矩的线性调节，必须使定子绕组在 d 轴上的电流分量为零在上图中的表现就
是定子磁势在 d 轴上的分量为零，对应 δ = 90D 。定子中通入的是正弦电流，那么三相
电 流 为 ： ia = Im cos(δ + θ ), ib = Im cos(δ + θ −120D ), ic = Im cos(δ + θ − 240D ) 代 入 上 述 结 果
附录:（注意矢量的表述方式 矢量＝⎡⎣基底⎤⎦ × ⎡⎣坐标⎤⎦ ）
如图 1 将三相磁势分别向旋转 d − q 轴系投影，可以得到如下结果：
KKK K K KKK Fs = Fd + Fq = Fα + Fβ = Fa + Fb + Fc
其中
K Fd
,
K Fq
是旋转矢量，
K Fa
,
K Fb
,
K Fc
（a） 还可进一步等效为：（注意 A，B 相之间的相位差）
(b) 图 4 等效框图 速度环本质上是在调节正弦三相电流的幅值。可以总结基于矢量控制永磁同步电机控制
思想如下：速度环控制三相交流电的幅值，由于采用的是 id = 0 的矢量控制δ = 90D ，速度环
输出确定了 PMSM 的电磁转矩。当电磁转矩大于负载转矩，电机以一定加速度运行，转子 转速控制定子磁势的转速即变频电源输出的频率（自控式同步电机）使同步电机不失步。当 电机到达指令速度，经过调节，速度环决定的电磁转矩和负载转矩很接近，加速度基本等于 零。转子转速基本不变，由其决定的变频电源输出频率也不变。电机就到达稳态平衡。（上 述方法可以理解 PMSM 矢量控制具有自启动能力和不失步运行原理）
+δ +δ
) )
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡
⎤
= [1
j]
⎡cosθ ⎢⎣ sin θ
−sinθ ⎤ ⎡ cosθ
cosθ
⎥ ⎦
⎢⎣− sinθ
⎡
sin θ cosθ
⎤ ⎥ ⎦
⎢⎢1 ⎢0
⎢⎣
−1 2 3 2
− −
1 2 3 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
Fma cos(θ + δ )
Fmb
− +
2π
3 2π
⎥ )⎥⎥ ⎥ )⎥
⎡id ⎢⎣iq
⎤ ⎥ ⎦
3⎦
iA =
2 3
⎣⎡id
cos(ωt)
−
iq
sin(ωt)⎦⎤
=
2 3
⎡
id 2
+
iq 2
⎢ ⎢⎣
id cos(ωt) − id 2 + iq2
iq
⎤ sin(ωt)⎥ = −
id 2 + iq2
⎥⎦
2 3
id 2 + iq2 cos(ωt + φ)
2π ) 3 + 2π
3
⎤ ⎥ ⎥ )⎥⎥⎦
⎡
⎢ ⎢
Im
⎢⎣Im
Im cos(ωt cos(ωt + δ cos(ωt + δ
+δ) − 2π + 2π
/ /
⎤ 3)⎥⎥ 3)⎥⎦
cos(ωt) × cos(ωt + δ ) + cos(ωt − 2π ) × cos(ωt + δ − 2π / 3) + cos(ωt + 2π ) × cos(ωt + δ + 2π / 3)
)
⎥ ⎥⎦
Fma
=
Fmb
=
Fmc为各相磁动势幅值
，
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
3 2 3 2
Fma Fma
cos(θ sin(θ
+ δ )⎤⎥
⎥
+
δ
)
⎥ ⎥⎦
是
Fs
在α
−
β
轴系的坐标。
=
3 2
Fma
[1
j]
⎡cosθ ⎢⎣ sin θ
− sinθ ⎤ ⎡cosδ ⎤
cosθ
⎥ ⎦
⎢ ⎣
sin
δ
⎥ ⎦
上述 [1
cos(θ
+δ
−
2π 3
Fmc
cos(θ
+δ
+
2π 3
) )
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡
⎤
= [1
j]
⎡cosθ ⎣⎢ sin θ
⎡ − sinθ ⎤ ⎢
cosθ
cosθ
⎦⎥
⎢ ⎢⎢⎣−
sin
θ
cos(θ − 2π ) 3
− sin(θ − 2π ) 3
cos(θ + − sin(θ
2π ) 3 + 2π
cosθ
⎥ ⎦
⎢⎣ sin θ
− sinθ ⎤ ⎡cosδ ⎤
cosθ
⎥ ⎦
⎢ ⎣
sin
δ
⎥ ⎦
= [1
j]
⎡cosθ ⎢⎣ sin θ
− sinθ ⎤ ⎡ cosθ cosθ ⎥⎦ ⎢⎣− sinθ
sin θ cosθ
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
3 2 3 2
Fma Fm a
cos(θ sin(θ
3
3
≡ 0 ，用三角函数中的和差化积知识可以整理上述方程为：
cos δ
⎡⎢⎣cos2
(ωt)
+
cos2
(ωt
−
2π 3
)
+
cos2
(ωt
+
2π 3
)⎤⎥⎦
−
1 2
⎡⎢⎣sin(2ωt )
+
sin(2ωt
−
4π 3
)
+
sin(2ωt
+
4π 3
)⎤⎥⎦
=
cos δ
⎢⎡⎣cos2 (ωt)
+
cos2
(ωt
j
]
⎡cosθ ⎣⎢ sin θ
− sinθ cosθ
⎤ ⎥⎦
即是
d
−
q
轴系的基底，
3 2
Fma
⎡cos δ ⎢⎣sin δ
⎤ ⎥⎦
是空间磁动势
Fs
在
d − q 轴系的坐标。
=
3 2
Fma
[1
j]
⎡cosθ ⎣⎢ sin θ
− sinθ ⎤ ⎡ cosθ
cosθ
⎥ ⎦
⎣⎢−
sin θ
sinθ ⎤ ⎡cosθ
理解方法二：
用方法一在确定θ = ωt 后，确定定子磁势超前转子磁势相位的方法。
3/2 电流变换的矩阵：
⎡iα ⎢⎣iβ
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡
2
⎢1 ⎢
3 ⎢0
⎢⎣
−1 2 3 2
− −
1 2 3 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡iA ⎢⎢iB ⎢⎣iC
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
2s/2r 变换。由于匝数相等，可以不考虑匝数。
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡iA ⎢⎢iB ⎢⎣iC
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡
2
⎢ ⎢
cosθ
3 ⎢⎢⎣− sinθ
cos(θ − 2π ) 3
− sin(θ − 2π ) 3
cos(θ + − sin(θ
2π ) 3 + 2π
3
)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡iA ⎢⎢iB ⎢⎣iC
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
θ 为 A 相绕组于 d 轴之间的电角度。
−
2π 3
) + cos2 (ωt
+
2π 3
)⎤⎥⎦
=
0 如是只能δ
=
90D 。
上述可以说是用方程的方法解得，其实还有简单方法： 从上述变换中：
⎡iA ⎤
⎢⎢iB
⎥ ⎥
=
⎢⎣iC ⎥⎦
⎡
⎢ cosθ
2 3
⎢ ⎢⎢cos(θ
−
2π 3
)
⎢ ⎢cos(θ
+
2π
)
⎣
3
⎤
− sinθ ⎥
− −
sin(θ sin(θ
形成的磁动势如下：Fs
=
N s is
=
Ns (ia
+ αib
+ α 2ic )
=
3 2
Ns
Im
e j(ϕ +θ ) ,α
=
e j2π
3 ，该式的理解如下：
图 1 定子磁势空间矢量 永磁同步电机矢量控制时，在任意时刻给定 A 相电流，则 B，C 相电流也给定，有三相分 别决定的在 A，B，C 三轴上产生的磁动势分量 Fa，Fb，Fc 以及空间矢量 Fs 也确定了。其
,
K Fα
,
K Fβ
是有固定方向的矢量。
Fs
=
⎡ ⎢⎣
Fma