离线考核
《高等数学（二）（高起专）》
满分100分
一、解答题（每小题20分，共100分。）
1.设 ，求函数 的单调区间与极值。
解：先求函数 。因为 ，令
，
故 。
再来求函数 的单调区间与极值。令
为唯一的驻点。又 ，故函数有唯一的极小值 ，从而得单调减少区间为 ，单调增加区间 。
2.利用洛必达法则求 。
解： 。
3.从斜边之长为 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
解：设两个直角边长分别是 ，则有
。
从而周长函数为
。
令
。
由此可知，斜边之长为 的一切直角三角形中，有最大周长的直角三角形是等腰直角三角形。
4.求积分 。
解：利用换元积分法，有
，
令 ，就有
，
将 代入即可Biblioteka 到。5. 求微分方程 的通解。
解：变形得
，
这是非线性方程。为此，视 为 的函数，就有
。
这是以 为未知函数的一阶线性方程，其中 。
代入求解公式即可得到
。