江南大学现代远程教育 2012年下半年第二阶段测试卷 考试科目:《高等数学》专升本 第四章至第六章（总分100分） 时间：90分钟
_____学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：
一． 选择题(每题4分，共20分)
1. 下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 ( b ). (a) ,[2,1]y x =- (b) 2,[2,6]y x = (c)23,[2,1]y x =- (d)1,[2,6]3y x =
- 2. 曲线 331y x x =-+ 的拐点是a
(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1)
3. 下列函数中, ( ) 是 2cos x x 的原函数.d (a) 21cos 2x - (b) 1sin 2x - (c) 21sin 2x - (d) 21sin 2
x 4. 设()f x 为连续函数, 函数1
()x
f t dt ⎰ 为 (b ).
(a) ()f x '的一个原函数 (b) ()f x 的一个原函数
(c) ()f x '的全体原函数 (d) ()f x 的全体原函数
5. 已知函数()F x 是()f x 的一个原函数, 则4
3
(2)f x dx -⎰等于( c ).
(a) (4)(3)F F - (b) (5)(4)F F - (c) (2)(1)F F - (d) (3)(2)F F -
二.填空题(每题4分，共28分)
6. 函数 3
33y x x =-+的单调区间为(,1),
[1,1],(1,)-∞--+∞ 7. 函数 333y x x =-+的下凸区间为(,0)-∞ 8. tan (tan )xd x ⎰=21(tan ),(为任意实数)2
x C C +. 9. 233()()x f x f x dx '⎰=321（f(x )),(为任意实数)6
C C +. 10.
2
20062
sin x xdx -⎰=_____0_____. 11. 0
cos xdx π
⎰=___2____.
12. 极限230
00
ln(1)lim x
x x t dt tdt
→+⎰⎰=12. 三. 解答题(满分52分) 13. 求函数 254(0)y x x x
=-< 的极小值。

254y =2x (0);0=-3x<-3,0;3,0.x=-3y =27
x y x
y x y ''+
<=''<>->极小值解答：
时，x 所以在时取到极小值，
14. 求函数 333y x x =-++ 的单调区间、极值及其相应的上下凸区间与拐点。

2y 33;6y =0x=1--+-x=-y =1
x=y =5
y =0x=0x<0,y >0;x>0,y <0.
-+x y x
'''=-+=-'±∞∞''''''∞∞极小值极小值解答：
当，；
单调递减区间：（，1），（1，）
单调递增区间：（1,1）
当1时取到极小值，当1时取到极大值，当时，，且则有，下凸区间：（，0）,；上凸区间（0，）。

拐点（0，3）
15. 计算21(1ln )dx x x +⎰.
21=d ln x 1+ln x
=arctan ln|x|+⎰
解答：
（）（）C ，（C 为任意实数） 16.
求⎰
.
22x=t -1
=sin td t - =2sin 2cos 2[cos cos ]
2cos 2sin ,()
t tdt
td t
t t tdt t t t C C =-=--=-++⎰⎰⎰⎰解答：
设则原式（1）
为任意实数 17. 计算1
011x dx e +⎰.
x e
1e 1e 11e =t x=lnt
1=d ln 1+t
11.d 1+t 11()d t 1[ln ln(1)]1ln(1)ln 2
e t t t
t t
t t e ==-+=-+=-++⎰⎰⎰解答：
设，原式 18. 计算4
229x
dx -⎰.
34
2223=-x dx+x -dx =6
⎰⎰解答：
原式（9）（9） 19. 求由抛物线 2
1y x =+; 0,1x x == 及 0y = 所围成的平面图形的面积, 并求该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积。

1
2012204=+x dx=3
28=+x dx=15S V ππ⎰⎰解答：
面积（1），体积（1）。