四点共圆巧解难题
一、知识准备
四点共圆的概念、性质、判定方法
二、拓展导学 【问题解决】
例1：如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ；F 为AE 中点，连结BF 、DF.
求证：BF ⊥DF 解法1：连结CF ，在等腰△ACE 中，用三线合一的性质可得
CF ⊥AE ，即∠CFA=90°
∴可证∠CFA+∠ADC=180°，得点A ，F ，C ，D 共圆， 即F 在△ACD 的外接圆上
又∵在矩形ABCD 中，可证∠ABC+∠ADC=180°， 得点A ，B ，C ，D 共圆，即B 在△ACD 的外接圆上 ∴可得点F ，B ，C ，D 四点共圆，由圆内接四边形
对角互补的性质可证∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即BF ⊥DF.
解法2：①图形所在平面内找出一点，如果能使这一点到点F ，B ，C ，D 的距离都相等，那
么由点与圆的位置关系可得这四点共圆；
②连结BD ，与AC 交于点G ，由矩形对角线相等且互相 平分的性质可得BG=DG=CG ；
③连结FG ，由点F ，G 分别是AE ，AC 的中点得FG 是
△AEC 的一条中位线，所以可证FG = CE =CA=CG ， 即FG=BG=DG=CG ；
④由点与圆的位置关系可得点F ，B ，C ，D 都在以点G 为圆心、FG 的长为半径的圆G 上，即点F ，B ，C ，D 四点共圆（后续过程同解法1）.
【难题呈现】
例2：如图，锐角△ABC 中，∠A=60°，BC=4，△ABC 的面积等于6，点P 是BC 边上的动点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E.
F
D
A
B
C
F A
G
F D
A
B C
求线段DE 的最小值.
【思路点拨】
1．求线段长度的最值问题常用方法有：利用轴对称转化；建立函数关系.
2．线段DE 是哪一个圆中的一条弦？这个圆的大小和线段DE 长有关吗？尝试用四点共圆来探求新的解决方法.
【巧解难题】
四点共圆法
60°
常规解法
60°
O P 2
P 1
E D
E D A
B
C
C
B
A
P
P
常规解法：分别延长PD 、PE 至点P 1、P 2，使PD=P 1D ，PE=P 2E ，连结P 1P 2 则可得DE 为△P P 1P 2的一条中位线
∴P 1P 2=2DE ，既当P 1P 2最小时，DE 也随之达到最小值. 连结AP ，AP 1，AP 2
由垂直平分线的性质可证：AP 1=AP= AP 2
由等腰三角形三线合一的性质可证：∠P 1AP 2=∠P 1AP+∠P 2AP=2×60°=120° ∴在顶角为120°的等腰△P 1AP 2中，P 1P 2 = AP 1=
AP
即当AP 最小时，P 1P 2也随之达到最小值
又∵由题意可得，当AP ⊥BC 时，AP 最小，且此时可求得AP=3 ∴此时P 1P 2=
，AP=3
∴DE min = P 1P 2min =
四点共圆法：①由PD ⊥AB 、PE ⊥AC 可证∠ADP+∠AEP=180°；则点A ，D ，P ，E 四点共圆
60°
E D A
B。