单调性的概念 单调性的概念
定义法证明函数单调 性
定义法证明函数单调性 ．
观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标 ． 如何使用函数的解析式和数学语言
刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形” ？
最低点的坐标是（0，0
最高点的坐标是（0，0
最大(小)值 请您观察下列图象,比较两个函数图象及其值域,您能发现什么 ?
图中竖轴表示学习中记住的知识数 量，横轴表示时间(天数)，曲线表 示记忆量变化的规律．这条曲线告 诉人们在学习中的遗忘是有规律的 ，遗忘的进程很快，并且先快后慢 ．观察曲线，你会发现,学得的知 识在一天后，如不抓紧复习,就只 剩下原来的25%．随着时间的推 移,遗忘的速度减慢，遗忘的数量 也就减少．
2.根据定义证明函数f(x)=3x+2是增函 数
方法·规律·小结
函数单调性的判定方 (1)定法义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值→ 作 (2)图象法：画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋 势 (3)直接法：对于熟悉的函数，如一次函数、二次函数和反比 例函数等，直接写出它们的单调区间
前情回顾
函数的概念 函数的表示方法 常见的函数图象：正比例函数、反比例函数 、一次函数、二次函数
复习：几个常见函数的图 像
y=x+1
1 -1
y=-2x+2 2
1
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数 的哪些变化规律：
观察这三个图象，你能说出图象的特征吗 ？
德国 心理学家 艾宾浩斯 (H，Ebbinghaus）研究 发现，遗忘在学习之后 立即开始，而且遗忘的 进程并不是均匀的．最 初遗忘速度很快，以后 逐渐缓慢．他认为“保 持和遗忘是时间的函数 ”，你能用数学语言描 述这个变化过程吗？
【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一次函 数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答．
【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2 ； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界点．根据二 次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分 a<0,0 ，a>4,结合函数的单调性解决．画出不 同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路．
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函 数
【答案】最大值是9，最小值是-3.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间 (0,3]上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端 点的函数值中最大的．
【答案】最大值9，最小值 0. 对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可 以不加证明地使用他们的单调性求函数最值
最大(小)值
请您观察函数图像，说明最大值的含 义
探究 对函数最值的理 解
函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值 是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值．
1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望它在
达到最高点爆裂．如果烟花离地面的高度h（单位m)与时间t(
单位s)之间的关系为
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高中数学必修1
第三章 函数概念与性质
函数的基本性质
新教版
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教学目标
理解单调函数，奇偶函数的定义，理解增函数、减函数、奇 函数、偶函数的定义； 掌握定义法判断函数单调性，奇偶性的方法 会；结合函数图像解决简单问题 ．
教学重点
函数单调性，奇偶性的判断和应用 ．
教学难点
函数单调性，奇偶性的判断和应用 ．
必须是对于区间D内的任意两个自变量
；当
时
，总有
或
单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就 说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 y=f(x)的单调区间.
判断函数单调性的方法步 骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤 ：
3 变形（通常是因式分解和配方） ; 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） ．
1.根据定义，研究函数f(x)=kx +b(k≠0)的单调 性.
2.物理学中的玻意耳定律
告诉我们，
对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试
用函数的单调性证明之．
取值
做差
变形
定号 结论
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量 间的关系。
解答 生产效率随生产线.上工人数量的增加而增 加，效率达到极点后，生产效率随生产线上 工人的增加而减小。
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
函数 况.
中自变量的不同位置时，函数值的变化情
上升
下降
先下降后上升
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降 趋势吗？
在某一区间内， 当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升 ；当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降 ．
如何用x与 f(x)来描述上升的图象 ？
增函数
如何用x与 f(x)来描述下降的图象 ？
减函数
注意
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数 的局部性质；
，那么烟花冲出后什
么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少（精确到1
m）？
分析：烟花的高度是时间的二次函数，根 据题意就是求出这个二次函数在什么时刻 达到最大值，以及这个最大值是多少．
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶 点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，顶点的纵坐 标就是距地面的高度．
【分析】这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量 的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数 在区间[2，6]上是减函数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值．
【解题过程分析】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据 这个单调性确定函数取得最值的点．因此解题过程分为两个部分，证明 函数在[2，6]上是减函数，求这个函数的最大值和最小值．