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勾股定理经典题型(后附答案)
一、经典例题精讲
题型一：直接考查勾股定理
例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度
例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.
题型三：勾股定理和逆定理并用——
例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4
1
=
那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？
题型四：利用勾股定理求线段长度——
例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——
例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？
例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要
移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
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题型六：旋转问题：
例题7 如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

变式1: 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.
变式2: 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究2
2
2
BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.
题型七：关于翻折问题
例题8 如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.
题型八：关于勾股定理在实际中的应用：
例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P
点处交汇，点
A
处有一所中学，AP=160
米，点A 到公路MN 的距离为80米，假 使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，
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请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
题型九：关于最短性问题
例题10 如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐 上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一 条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少 路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把 所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面 的B 点，最少要花几秒钟？
三、课后训练： 一、填空题
1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6㎝，问吸管要做 ㎝。

图(1) 图（2）
3．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、 E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。

另一只爬到树顶D 后直接 跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米。

5. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有 一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是__________.
C O A B
D
E
F 第3题图 20
3
2
A B
D
B
C A 第4题图
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二、选择题
1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
2．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ）
A 、121
B 、120
C 、132
D 、不能确定
3．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A 、60∶13
B 、5∶12
C 、12∶13
D 、60∶169
4．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）
A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm
2
5．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价
a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元
B 、225a 元
C 、150a 元
D 、300a 元
7．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（
A 、6cm 2
B 、8cm 2
C 、10cm 2
D 、12cm
2
8．在△ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为（ ）
A ．42
B ．32
C ．42或32
D ．37或33
9. 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
150°
20m
30m
第6题图
A
B
E
F
D
C
第7题图
A
B
C
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