2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3. 已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0=⋅b a ，0=⋅c b ，则0=⋅c a ；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．84π-B ． 82π-C ．8π-D ． 82π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．－1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d > B ．0d < C ．10a d > D ． 10a d <10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343--C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14. 已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y=+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足02422=-+-c b ab a ，且使|2|a b +最大时，cb a 421++的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率. 附：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh=，其中S 为底面面积，h 为高.DC20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）. （1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21. （本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径；A（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ； （2）当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014高考辽宁卷文科数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. D A C B A B C C D A B C 1.【解析】).10()∪(∞).C 1[]0∞-(∴∞)1[],0-(R ，，，=+⋃=⋃+=∞=B A B A B A 2.【解析】..3225252-25,5)-2)(2-(A i i i i i z i i z 选）（+=++=+=∴= 3.【解析】.∴).2,1(∈log ),1-2-(∈log ),121(∈2312131231-b a c c b a >>===，， 4.【解析】对A, 平行同一平面的直线不一定平行，所以A 错；对B ，直线垂直平面，则必垂直平面内任意一条直线，所以B 对；同样C,D 均错. 5.【解析】命题p 为假，命题q 为真，所以A 正确. 选A6.【解析】 421121)(2ππ=⨯⋅=A P ，所以选B.7.【解析】几何体为直棱柱，体积π-82)21π-22(2=⨯⨯==sh V ，选C. 8.【解析】.4p 2,2,)3,2-(==pA 得在准线上..43-2-2-3),0,2(,8∴2C k F F x y AF 选从而的坐标为焦点===9. 【解析】由已知得n a a 1递减，所以n n a a a a 111<+，解得.00;0011><<>d a d a 且或且..01D d a 选<∴10.【解析】依题可以画出函数)(x f y =的图象如图，直线21=y 与函数)(x f y =的四个交点横坐标从左到右依次为43,31,31,43--，因此可得，43131≤-≤x 或31143-≤-≤-x ,解得]47,34[]32,41[ ∈x ，选A. 11.【解析】；一个增区间为的周期把]6π-4π,6π-4π-[π,)6π(2sin 3)3π2sin(3=+=+=T x x y.].127π,12π[]6π-4π2π,6π-4π-2π[2πB 选后，增区间为右移=+12.【解析】xt x x f x 10≠.0≥)(0.==时，令当成立时，当 ]1,2-[∈∀x ,0≥)341-()(323x x x a x x f ++=]21,-∞-(∈∀t ,0≤34-),∞,1[∈∀t ,0≥34-∴3232t t t a t t t a +++++且)1-9)(1(981-)(,34-)(232t t t t t g t t t a t g +=++='++=则令.)∞,1[]21,-1-(),-1∞-()(递增上递减，在上递增，在在+'t g.].-2,-6[∈a ∴-6≥-2≤.0≥)1(0≤)-1(∴C a a g g 选且解得，且二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 20 14. 18 15. 12 16. 1-16.【解析】设2a b t +=，则2b t a =-，代入到22420a ab b c -+-=中，得()()2242220a a t a t a c --+--=，即221260a ta t c -+-=………(*)因为关于a 的二次方程(*)有实根，所以0)(1243622≥-⨯-=∆c t t ，可得c t 42≤，所以当|2|b a +取最大值时，⎪⎩⎪⎨⎧==c b c a 2或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=cb c a 2. (1) 当⎪⎩⎪⎨⎧==cb ca 2时，0422421>++=++c c c c b a ， (2) 当⎪⎩⎪⎨⎧-=-=cb ca 2时，11)211(44224212-≥--=+--=++c c c c c b a ，当且仅当2,1,4-=-==b a c 时等号成立.综上可知，当2,1,4-=-==b a c 时，cb a 421++的最小值为1-.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）由2BA BC ∙=得，2cos =B ca ，又1cos 3B =，所以6=ac .又3b =， ac b c a B 2-cos 222+=，得到13cos 2222=+=+B ca b c a ，2,3.2,3∴====>c a c a c a 所以，解得（2）322`cos 1sin 31cos 2=-=∴=B B B ，924sin ,972c -cos ,2,3,3222==+====C ab b a C c b a.2723)-cos(.2723sin sin cos cos )-cos(==+=∴C B C B C B C B 所以，18. 【解析】（1）841.376.4≈3710030702080)1020-1060(100χ22>∙=∙∙∙∙∙=面有差异”方的学生在甜品饮食方的把握认为“南方和北所以，有%95 （2）种；人，共有人中选从1035 1077611611==+p 所以，所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种，所以至多有学生喜欢甜品的情况有个种，只有品的情况有其中，没有学生喜欢甜19. 【解析】（1）︒====120∠∠,DBC ABC BD BC BA 且BCG⊥EF ∴∩BC ⊥EF EF ⊥BC EF⊥BC EFH,⊥BC ∴∩BC ⊥BC,⊥⊥EF ,⊥EF//AD ∴,ΔΔΔ∴面，且，即面，且根据对称性可知，上，且在设即分别是三边的中点，且，中在全等，与C CG CG H EH FH EH FH BC H CGCG DC AC G F E ACD DCAC DBC ABC ====（2）BCG,⊥Δ∴BCG ⊥面上的高底边面面BC ABC ABC21CG -21∴3120sin 22212331CG -3Δ.CD -CG -ΔΔCD -CG -的体积为所以，三棱锥的体积三棱锥上的高底边的高是它的一半即三棱锥B D V S S V V B D BC ABC B G B D BCD BCD B G B D ==︒∙∙∙=∙∙===20.【解析】(1),4,,,2=r n m P r 为点上下两段线段长分别设圆半径三角形面积由射影定理得,2mn r =16)(421442122422+++=++=n m r n m s ,168211682124224++=++≥r r n m r ).2,2(2P s n m 取最大值，这时时，仅当==（2）).,(),(122112222y x B y x A b y a x ，，设椭圆方程为=+122)2,2(22=+b a P 得：椭圆过点.233=+=d x y P 的距离到直线则324221Δ==∙∙=AB AB d S ABP ，解得由题得，由弦长公式得332]4-)[(2]4-))[(1(212212122122=+=++=x x x x x x x x k AB 136)(3,66,30313-6,316-38-48-32,34-∴01-3322,01-33213122.3164-)(22222224224222122122222222222221221=+=====+=∙∙==+=++=+++⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=+y x a b a b bb b b b b b x x b x x b x x b x x a x b y ax x y ba P x x x x 所以，椭圆方程为舍，或解得即代入上式得整理得得由代入方程得：把点即21.【解析】（1）04-2π)2π(,02-π-)0(∴2-sin 2-)cos -(π)(2>=<==f f x x x x f 上仅有一个零点，在所以，上单调递增，在上有零点，在)2π0()()2π0()(∴0osx)2-π(sin πosx 2-)sin 1(π)()2π0()(∴x f x f c x c x x f x f >+=+='(2) π),,2π(∈,1-π2sinx 1sinx -1π)-()(x x x x g ++=1-π2sinx 1cosx -π)-()(∴x x x g ++=)2π(0,∈,π2-πsin 1cos -)-π(∴x x x x x x g ++=.h(x)g(x))2π(0,∈,π2-πsin 1cos -h(x)的零点相同与，则设x x x x x ++=π2-sin 1sin 1cos -π2-)sin (1cos )sin 1(sin sin 1cos -(x)h 22x x x x x x x x x x x +++=+++++=')2π(0,∈,)sin 1(π)()sin 1(π)sin 1(2-)cos -π(x x x x f x x x +=++=，上只有一个零点在知，由0)2π(0,)()1(x x f .(x)h ,00左负右正在点即左负右正且在点x x ' π.,),2()(π∴π,-π∴0)-π(,0)h()0(∈,0)(0)2πh(,01)0(h(x)∴101100121212202000>+>++<=+===<=>=x x x x g x x x x x x x x x g x x x x h h x x 且上存在唯一零点在所以，即即，使得，存在唯一故点右侧递增，且点左侧递减，在在ππ22.【解析】（1）PG PD D PD =' .到延长， AG ∠∠∴∠∠∠∴F DB D PD FGA PGD ADP ='==为切线 π∠∠BDA AG ∠∴π∠ADP ∠BDA ∠=++=++'FGA F DB D.,2π∠BDA ∴π2π∠BDA ∴为直径所以AB ==+(2)EC ∠AG ∠AD ∠∴A F B AC BD ===为直径中，在三角形ED EG AF ACE ∴2π∠EAD ⇒2π∠EAG ∴⊥== .,AB ED =所以 23. 【解析】（1）.],π∈[0,t sin 2cos 为参数，的参数方程：曲线t t y t x C ⎩⎨⎧== （2）02-θsin 2θcos 2θ)sin 2θ,(cos =+在直线上，则上的点设曲线P C0.3θsin ρ4-cos θ 2ρ,23-4)21-(211-∴).1,21(),2,0(),0,1(.2π0θ.1)4πθsin(2=+====+是所求直线的极坐标方程所以即的中垂线方程是垂直中点所以，，或即解得x y x y AB AB B A24. 【解析】（1）.1≤1-|1-|2)(x x x f += .1≤01;34≤≤11≥<<x x x x 时，解得当时，解得当 }.34≤≤0|{].34,0[1≤)(∴x x M x f =所以，的解集为（2）由41816)(2≤+-=x x x g ，解得4341≤≤-x .因此},4341|{≤≤-=x x N 故 }430|{≤≤=x x N M ，于是当N M x ∈时，x x f -=1)(.于是.41)1()()]()[()]([)(22≤-=⋅=+=⋅+x x x f x x f x x xf x f x x f x。