(2)运动特征：a＝－k′x(负号表示加 速度方向与位移方向相反)． (3)描述简谐振动的物理量 ①振幅：反映质点__振__动_强__弱____的物 理量,它是标量． ②周期和频率：描述振动__快__慢___的 物
理量，其大小由振动系统本身决定， 与_振__幅___无关． 二、简谐运动的两种模型 模型 弹簧振子 单摆
.
5．对称性特征 图7－1－2 (1)如图7－1－2所示，振子经过关于 平衡位置O对称(OP＝OP′)的两点P、 P′时,速度的大小、动能、势能相等, 相对于平衡位置的位移大小相等．
(2)振子由P到O所用时间等于O到P′ 所用时间，即tPO＝tOP′. (3)振子往复过程中通过同一段路程(如 OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO.
3.能量特征：对单摆和弹簧振子来说， 振幅越大，能量越大．在运动过程中, 动能和势能相互转化，机械能守恒．
4．周期性特征：物体做简谐运动时，
其位移、回复力、加速度、速度、动
量等矢量都随时间做周期性变化，它
们的变化周期就是简谐运动的周期(T);
物体的动能和势能也随时间做周期性
变化，其变化周期为 T 2
变式训练1
图7－1－6 如图7－1－6所示是甲、乙两个单摆 做简谐运动的图象，以向右的方向作 为
摆球偏离平衡位置位移的正方向，从t ＝0时刻起，当甲第一次到达右方最大 位移处时( ) A．乙在平衡位置的左方，正向右运动 B．乙在平衡位置的左方，正向左运动 C．乙在平衡位置的右方，正向右运动 D．乙在平衡位置的右方，正向左运动
解析：选D.由题图可知，当甲第一次 到达正向最大位移处时是在1.5 s时， 此时乙的位移为正，即乙在平衡位置 右侧，选项A、B均错；再由位移图象 斜率表示速度，可知此时乙的斜率为 负，即表示乙在向左运动，选项C错 误、D正确．
单摆周期公式的应用
例2 (满分样板 8分)
图7－1－7
如图7－1－7所示，光滑圆弧槽半径 为R,A为最低点,C到A的距离远小于R. 两个可视为质点的小球B和C都由静止 开始释放，要使B、C两球在A点相 遇．问B到A点的距离H应满足什么条 件？
2．共振 (1)概念：当驱动力的频率等于 _固__有_频__率___时，受迫振动的振幅最大 的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于 _固__有__频__率___. (3)共振的特征：共振时_振__幅___最 大．
(4)共振曲线(如图7－1－1所示)．
图7－1－1 f＝f0时，A＝Am.f与f0差别越大，物体 做受迫振动的振幅_越__小___．
当把手以某一速度匀速转动，受迫振 动达到稳定时，砝码的振动图象如图 丙所示．若用T0表示弹簧振子的固有 周期,T表示驱动力的周期，X表示受迫 振动达到稳定后砝码振动的振幅，则
图7－1－8
(1)稳定后，物体振动的频率f＝ ________Hz. (2)欲使物体的振动能量最大，需满足 什么条件？答： __________________. (3)“某同学提出,我国火车大提速时， 需尽可能的增加铁轨单节长度，或者 是铁轨无结头”．利用上述所涉及
(2)靠近平衡位置的过程：由F＝－kx ＝ma可知，x减小，F减小，a减小， 但a与v同向，故v增大，动能增大． (3)经过同一位置时，位移、回复力、 加速度、速率、动能一定相同，但速 度、动量不一定相同,方向可能相反．
2．图象法
图7－1－3 (1)确定振动物体在任一时刻的位 移．如图7－1－3所示，对应t1、t2时 刻的
解析：选CD.建立弹簧振子模型如图 所示．由题意知，振子第一次先后经 过M、N两点时速度v相同，那么，可 以在振子运动路径上确定M、N两点，
M、N两点应关于平衡位置O对称，且 由M运动到N，振子是从左侧释放开始 运动的(若M点定在O点右侧，则振子 是从右侧释放的)．因位移、速度、加 速度和回复力都是矢量，它们要相同 必须大小相等、方向相同．M、N两点 关于O点对称，振子回复力应大小相
简谐运动的周期T.
解析：单摆周期公式 T＝2π gl， 且 kl＝ 解得 T＝2π mk .
答案：见解析
受迫振动和共振
例3 一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子, 如图7－1－8甲所示．该装置可用于 研究弹簧振子的受迫振动．匀速转动 把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力， 使振子做受迫振动．
把手匀速转动的周期就是驱动力的周 期，改变把手匀速转动的速度就可以 改变驱动力的周期．若保持把手不变, 给砝码一向下的初速度，砝码便做简 谐运动，振动图象如图乙所示．
特别提醒：由于简谐运动具有周期性 和对称性，因此，涉及简谐运动时， 往往出现多解.分析问题时应特别注意 物体在某一位置时的速度的大小和方 向、位移的大小和方向.
即时应用
1．一弹簧振子在一条直线上做简谐运 动，第一次先后经过M、N两点时速度 v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的 是( )
A．振子在M、N两点受回复力相同 B．振子在M、N两点对平衡位置的位 移相同 C．振子在M、N两点加速度大小相等 D．从M点到N点，振子先做加速度减 小的加速运动，后做加速度增大的减 速运动
题型探究讲练互动
题型1 简谐运动及其振 动图象
例1
图7－1－5
(2012·温州模拟)如图7－1－5 所示为 一弹簧振子的振动图象，试完成以下 问题： (1)写出该振子简谐运动的表达式． (2)在第2 s末到第3 s末这段时间内， 弹簧振子的加速度、速度、动能和弹 性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？ 路程是多少？
【规律总结】 物体做受迫振动时， 其振动频率等于驱动力的频率，与物 体的固有频率无关，当f驱＝f固时物体 做受迫振动的振幅最大,即发生共振．
知能演练强化闯关
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等、方向相反，振子位移也是大小相 等，方向相反．由此可知，A、B选项 错误．振子在M、N两点的加速度虽然 方向相反，但大小相等，故C选项正 确．振子由M→O速度越来越大，但加 速度越来越小，振子做加速运动，振 子由O→N速度越来越小，但加速度越
来越大，振子做减速运动，故D选项 正确．
二、简谐运动的分析方法 1．对称法 (1)远离平衡位置的过程：由F＝－kx ＝ma可知，x增大，F增大，a增大， 但a与v反向，故v减小，动能减小．
模型 示意图
模型 特点 公式
弹簧振子
单摆
①忽略摩擦力，
弹簧对小球 ①细线的质量，
的弹力提供 球的直径均可
回复力
忽略
②弹簧的质量 ②摆角θ很小
可忽略
回复力F＝－ kx
①回复力F＝
－
mg l
x
l
②周期T＝2π g
三、受迫振动及共振 1．受迫振动 (1)概念：物体在_周__期__性___驱动力作 用下的振动． (2)振动特征：受迫振动的频率等于 _驱__动__力___的频率,与系统的固有频率 __________无关．
要点透析直击高考
一、简谐运动的几个重要特征 1．受力特征：简谐运动的回复力满足 F＝－kx,位移x与回复力的方向相 反．由牛顿第二定律知，加速度a与位 移大小成正比，方向相反．
2．运动特征:当物体靠近平衡位置时, x、F、a都减小，但v增大，到达平衡 位置时v最大;当物体远离平衡位置时, x 、F、a都增大，v减小．
Rg (n＝1,2,3，…)．(3 分)
B 球到 A 点的时间 tB＝
2H g .(2
分)
因为相遇时 tB＝tC，(1 分)
所以 H＝2n－812π2R(n＝1,2,3，…)．(2 分)
变式训练2 (2011·高考江苏卷)将一 劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下 端系上质量为m的物块．将物块向下 拉离平衡位置后松开，物块上下做简 谐运动,其振动周期恰好等于以物块平 衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周 期．请由单摆的周期公式推算出该物 块做
【思路点拨】 以下四点：
分析该题时可关注
(1)振子的初始位置及运动方向；
(2)振子位移的大小、方向及其变化趋 势；
(3)由位移变化判断a、v、Ek、Ep的变 化；
(4)由运动特点确定位移和路程．
【解析】 (1)由振动图象可得：
A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
则ω＝2Tπ
＝
π 2
rad/s
故该振子做简谐运动的表达式为：x＝
即时应用 2．(2012·衡阳模拟)
图7－1－4
一质点做简谐运动的振动图象如图7－ 1－4所示，质点的速度与加速度方向 相同的时间段是( ) A．0 s～0.3 s B．0.3 s～0.6 s C．0.6 s～0.9 s D．0.9 s～1.2 s
解析：选BD.质点做简谐运动时加速 度方向与回复力方向相同，与位移方 向相反，总是指向平衡位置；位移增 加时速度与位移方向相同，位移减小 时速度与位移方向相反．
第一节 简谐运动和受迫振动
基础梳理自学导引
一、简谐运动 1．回复力 (1)定义:使振动物体返回到 平衡位置 __________的力．
(2)方向：时刻指向_平__衡__位__置___． (3)来源：振动物体所受的沿振动方向 的合外力． 2．简谐运动 (1)受力特征：_F_＝__－_k_x__ (F—回复力， x—位移，负号表示回复力方向与位移 方向相反)．
位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm. (2)确定振动的振幅．图象中最大位移 的值就是振幅，如图7－1－3所示， 振动的振幅是10 cm.
(3)确定振动的周期和频率．振动图象 上一个完整的正弦(余弦)图形在时间 轴上拉开的“长度”表示周期．
由图7－1－3可知，OD、AE、BF的间 隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f ＝1/T＝5 Hz.
(4)确定各质点的振动方向．例如图7－ 1－3中的t1时刻，质点正远离平衡位置 向正方向运动；在t3时刻，质点正向着 平衡位置运动．