§2.3循环群和生成群、群的同构 §2.3.1 循环群和生成群设G 是群，，令 G a ∈ H ＝{ | }k a Z k ∈此时，称H 为由a 在G 中生成的子群。
注：1°易验证H 确实为G 的子群，121()k k a a H −∈。
2°记H ＝< a >，a 称为它的生成元；若G ＝< a >，则称群G 为循环群。
定义1 （生成子群）设S 是群G 中的一个非空子集，G 的含有S的最小子群称为由S 生成的子群，记为< S >,S 称为它的生成元集。
注：1°< S >可表示为< S >={ …| 2121εεa a kk a εZ S a i i ∈∈ε,, k=1,2,3…}这个表达式是合理的：设右式为H ，易见H ⊇S ，并且H ≤G ；要证明任何包含S 的子群K 必然包含H 。
由于S K ，而K 为群G 的子群，所以；这也就是说H ＝< S >。
⊆K a ki i i∈∏=1ε 2）如果群G ＝< S >，且K S ∀⊄，>≠<K G ，则称S 是G 的极小生成元集。
特别，当|S|<+∞，元素个数最少的生成元集被称为最小生成元集。
若干例子：（1） K lein 四元群可表为K=<a , b | o(a )=o(b )=2,ab = ba >，它的极小生成元集为{a , b }。
（2） (Z ,＋)＝<1>=<－1>，它是可由1或－1生成的无限阶的循环群。
（3） （，＋）≌，它们都为n 阶循环群。
n Z n U （，＋）＝< [1] >；= < n Z n U ξ >。
（4） 二面体群>=<0,πρn D=ρ⎟⎞⎜⎜⎝⎛−1...22110n ⎟⎟⎠⎞⎜⎛−−−11 (2211)0n n n n=6时：不难证明，()2k i k n i π=+− （mod n ）k π, 上下均模n 。
l k l −=ρπ较复杂的例子： P56 例1、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,,,,)(2bc ad Z d c b a d b c a Z SL证明： >⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=<1011,1101)(2Z SL 证明： ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011B 有： ，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101k A k⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101k B kZ k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==−−01101011011110111101101111AB B Q。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=10012Q 易见，B A ,)(2Z SL ⊆，下面证明)(2Z SL d b c a X ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∀，detX=1，都可由A,B 生成。
情形1：当a,b,c,d 中有一个元素为0时，不妨设c ＝0，则必有a=d=1或a=d=－1，于是有b A b X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101，或。
b A Q b X −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=2101（其它情形，即当，而有一元0≠c {}d b a x ,,∈，x ＝0，总能通过Q 左乘或右乘X ，使得将c 位置变成0。
）易见，B A X ,∈。
情形2：当，必有（a ，c ）＝1，否则|X|0≠abcd ≠1。
不妨设 |a| < |c|，并令c=q ·a + r ，0≤r<|a| ，于是有，左上角元素的绝对值变小；利用A ，B 和Q ，Q ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−**a rX QB q2总能经过有限次运算，可将左上角元素变为0，转换成情形1。
所以B A X ,∈，从而B A Z SL ,)(2⊆。
综上知：B A Z SL ,)(2=。
＃§2.3.2群的同构有些群在代数结构意义下是一致的，称为同构，精确地刻划为：定义2 设（G ，·）与（G ′，。
）为两个群，若存在一个从G 到G ′之上的1－1映射，满足关系ff(a ·b)=f(a )ºf(b) G b a ∈∀,则称为从G 到G ′之上的一个同构映射或同构，并称G 与G ′同构，记为G ≌G ′。
f 注：1）所谓1－1映上的映射也称之为双射。
2）通常把条件f(a ·b)=f(a)ºf(b)称为保持群的运算关系。
f3）同构映射使两个群的所有代数性质都1－1对应：f 把G 中单位元e 映成G ′中的单位元e ′；把G 中任意元素a 的逆元映成G ′中对应元素的逆元；把群G 中的子群H 映成中的子群(H)；f 保持元素的阶不变，保持元素的所有代数性质。
f f例子1 R 为实数的集合，+R 为正实数的集合，若设G ＝（+R ，• ），G’＝（R ，＋），求证：G ≌G ′ 。
证明：作G 到G ′的对应关系： (),f x x lg →R R →+易见，由2121lg lg x x x x =⇒=，),(21G x x ∈∀，所以为单射；又因为，可取，有f(x)=，所以还为满射。
另一方面，有f 'G b ∈∀b x 10=b b =)10lg(f G x x ∈∀21,)()(lg lg )(212121x f x f x x x x f +=+=•所以 G ≌G ′ 。
例子2 设{}1,,2,1,02−⋅⋅⋅==•n k eU ink n π是复数域上所有n 次单位根的集合，关于复数乘法构成群。
设n U ),(+><n Z 到（，• ）的一个对应关系为 n U：f []ink ek ⋅π2a k=0,1,2,…n-1易证，为f ),(+><n Z 到（，• ）的一个同构。
n U§2.3.3循环群的性质循环群G=< a >有完满的对称性，它是由一个元素生成的，在同构的意义下，循环群可完全确定。
定理1 设G=< a >是由a 生成的循环群，则（1） 当o(a)＝+∞时，G ≌(Z ，＋)，G 称为无限循环群。
（2） 当o(a)=n 时，G ≌(Z n ,+<>），G 称为n 阶循环群，记为。
n C 注：证明此定理时容易的，关键要会做表示。
（1） 当o(a)＝+∞时，群G 表示为G ＝{}Z k a k ∈；建立从G 到(Z ，＋)之上的映射ϕ：。
Z k k a k ∈,a 然后再验证ϕ为1－1映上，且保持运算关系不变。
（2） 当o(a)=n 时，群G 表示为{}120,,,,1−⋅⋅⋅==n a a a a G建立从G 到),(+><n Z 的映射ϕ：，k ＝0，1，2，…n-1。
][k a k a 然后证明ϕ为1－1映上，且保持运算关系不变。
（此定理的详细证明，由同学自己完成。
）由于所有循环群在同构意义下只有二类：(Z ，＋)和),(+><n Z ，所以研究循环群的问题，只着眼这两类群就可以了。
定理2 关于循环群的生成元，我们有(1) (Z ，＋)的生成元只能为1或－1；(2) ),(+><n Z 的生成元只能为[a ]，其中(a , n)=1，共有ϕ(n)个生成元。
证明：（1）设(Z ，＋)＝< a >，也即+Z ＝< a >，因为1∈+Z ，故必有k 使得，而k 为整数，a 也为整数，所以a =1或a =-1。
显然有1=⋅=a k a k +Z ＝< 1 >=< -1 >。
（2）设>=<><][a n Z ，因为[1]∈><n Z ＝<[1]>，所以必然有k ∈Z ，使得k •[a ]=[1]，即k •a ≡1(mod n)，此时，k a =1+s •n ，也就是k •a +(-s)•n=1，说明(a ,n)=1，并且只要使(a’,n)=1，同样有><n Z ＝< a ’>，所以><n Z 中共有ϕ(n)个生成元。
# 下面研究循环群的子群性质：定理3 循环群的子群仍然是循环群，并且 (1) (Z ，＋)的全部子群为>=<m H m ，m=0,1,2,…；(2) ),(+><n Z 的全部子群为< [d] >，这里d|n ，并且< [d] >为><n Z 中唯一的n/d 阶子群。
证明：（1）设H ≤+Z ，若H ≠{0}，令M ＝{ x | x ∈H ，且x > 0}，由x ∈H ，必有-x ∈H ，易见M ≠Φ。
由自然数集的良序性，知M 中有最小元，设为m 。
于是，有x=p ·m+r ，0≤r<m ；如果r ≠0,必有r=x-pm ∈M ，这与m 为M 中最小元矛盾，所以r=0，于是M ＝{k •m | k ∈I}。
进一步有H ＝{k •m |k ∈Z}=<m>=。
说明M x ∈∀m H +Z 中的全部子群都为循环群，且为，m=0,1,2,… 。
>=<m H m (2) 令><n Z ＝{[0] , [1] ,[2] ,…,[n-1]}，设H ≤><n Z ，且H ≠{[0]}。
令M ＝{k |[k]∈H\{0}}，易见M ≠Φ，它为自然数集I 的子集，有最小元，设为d 。
,有x=p •d+r ，0≤r<d 。
M x ∈∀由于[r]=[x]-p •[d]∈H ，若[r]≠[0]，则r ∈M ，与d 为M 中的最小元矛盾，故r=0，所以有M={k •d |k ∈{0,1,2,…}}；进一步有H={k[d] | k=0,1,2,…}={[k •d] | k=0,1,2,…}={[0],[d],…,[(m-1)d] | m=n/d}。
易见，H 为n/d 阶子群且是循环群，H ＝<[d]>。
再证唯一性：设K ＝<[k]>也是一个m=n/d 阶子群，则有m •k ≡0(mod n)，于是存在正式r 使m •k=r •n=r •m •d ，有k=r •dd|k ，故[k]∈<[d]>，即，而|K|=|H|=m ，所以K ＝H 。
＃⇒HK ⊆定理4（有限循环群判定定理）G 是任意n 阶群，如果对于任意d|n ，G 内至多有一个d 阶子群，则G 是n 阶循环群。
证明：首先注意，G 中任意元素的周期定是n 的约数。
（简述原因：，若G a ∈∀t a =)(π，知<a >为G 的t 阶循环子群，记<a >=H 。