练习6.71.有两个煤厂A,B，每月进煤不少于60t,100t，它们担负供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月用煤量分别为45t,75t和45t.A 厂离这三个居民区的距离分别为10km,5km,6km,B厂离这三个居民区的距离分别为4km,8km,15km.问这两个煤厂如何分配供煤量能使总运输量（t.km）最小。

解：设甲对三个居民区的供煤量分别为：x1,x2,x3,乙对三个居民区的供煤量分别为x4,x5,x6.由已知有：y=10x1+5x2+6x3+4x4+8x5+15x6-x1-x2-x3<=-60,-x4-x5-x6<=-100,x1+x4=45,x2+x5=75,x3+x6=40,X1>=0,x2>=0,x3>=0,x4>=0,x5>=0,x6>=0.输入命令：> c=[10 5 6 4 8 15];A=[-1 -1 -1 0 0 0;0 0 0 -1 -1 -1;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];>> b=[-60;-100;0;0;0;0];Aeq=[1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];>> beq=[45 75 40 0 0 0];>> lb=ones(6,1);>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated.结果为：x = 1.000020.000039.000044.000055.00001.0000fval =975.0000这说明甲乙两个煤厂分别对三个居民区输送1t 20t 39t,44t 55t 1t的煤才能使总运输量最小，且总运输量为975t.km2．某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、税前收益如下表所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按40%的税率纳税。

此外还有以下限制：（1）政府及待办机构的证券总共至少购进400万元；（2）所构证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所构证券的平均到期年限不超过5年。

问：（1）若经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能以2.75%的利率借到不超过100万元的资金，该不该借？如何投资？（3）在1000万元资金的情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：（1）设A、B、C、D、E证券分别购进x1,x2,x3,x4,x5（单位：万元），则有：目标函数f=0.043x1+0.0216x2+0.02x3+0.0176x4+0.045x5s.t. –x2-x3-x4<=-400,2x1+2x2+x3+x4+5x5<=7,9x1+15x2+4x3+x4+x5<=25,X1+x2+x3+x4+x5<=1000,0<=x1,0<=x2,0<=x3,0<=x4,0<=x5.输入命令：>> c=[-0.043 -0.0216 -0.02 -0.0176 -0.045];>> A=[0 -1 -1 -1 0;2 2 1 1 5;9 15 4 3 2;1 1 1 1 1];>> b=[-400;7;25;10000];>> Aeq=[];beq=[];>> lb=zeros(5,1);ub=[];>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)结果为：x = 0.00010.00050.0000481.15250.0000fval = -8.4683所以对A、B、C、D、E证券应分别购进0.0001万元、0.0005万元、0.0000万元、481.1525万元、0.0000万元才能是所得利益最大。

（2）设A、B、C、D、E证券分别购进x1,x2,x3,x4,x5（单位：万元），则有：目标函数f=（0.043x1+0.0216x2+0.02x3+0.0176x4+0.045x5）*0.0275 s.t. 2x1+2x2+x3+x4+5x5<=7,9x1+15x2+4x3+x4+x5<=25,X1+x2+x3+x4+x5<=100,0<=x1,0<=x2,0<=x3,0<=x4,0<=x5.输入命令：>> A=[2 2 1 1 5;9 15 4 3 2];>> b=[7;25];>> Aeq=[];beq=[];>> lb=zeros(5,1);>> ub=[];>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)Optimization terminated.结果为：x =1.0e-008 *0.43240.74010.04530.26290.4695fval =1.6841e-011所以对A、B、C、D、E证券应该分别购进1.0e-008 *0.4324万元、1.0e-008 * 0.7401万元、1.0e-008 * 0.0453万元、1.0e-008 *0.2629万元、1.0e-008 *0.4695，才能使所得利益最大。

（3）设A、B、C、D、E证券分别购进x1,x2,x3,x4,x5（单位：万元）①目标函数f1=0.045x1+0.0216x2+0.02x3+0.0176x4+0.045x5s.t. –x2-x3-x4<=-400,2x1+2x2+x3+x4+5x5<=7,9x1+15x2+4x3+x4+x5<=25,0<=x1,0<=x2,0<=x3,0<=x4,0<=x5.输入命令：>> c=[-0.045 -0.0216 -0.02 -0.0176 -0.045];>> A=[0 0 -1 -1 -1;2 2 1 1 5;9 15 4 3 2;1 1 1 1 1;0 0 0 0 0];>> b=[7;25;1000;0;0];>> Aeq=[];beq=[];>> lb=zeros(5,1);ub=[];>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)Optimization terminated.x =1.0e-010 *0.02500.00180.02630.02760.1106fval =-7.1543e-013由（1）知f=8.4683万元>f1=7.1543e+013万元,所以，当证券A的税前收益增加为4.5%时，不应该改变投资。

②目标函数f2=0.045x1+0.0216x2+0.0192x3+0.0176x4+0.045x5s.t. –x2-x3-x4<=-400,9x1+15x2+4x3+x4+x5<=25,X1+x2+x3+x4+x5<=1000,0<=x1,0<=x2,0<=x3,0<=x4,0<=x5.输入命令：>> c=[-0.043 -0.0216 -0.0192 -0.0176 -0.045];>> A=[0 0 -1 -1 -1;2 2 1 1 5;9 15 4 3 2;1 1 1 1 1;0 0 0 0 0]; >> b=[7;25;1000;0;0];>> Aeq=[];beq=[];>> lb=zeros(5,1);ub=[];>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)Optimization terminated.结果为：x =1.0e-010 *0.02500.00180.02650.02780.1104fval =-7.0816e-013由（1）知f=8.4683万元>7.0816e+013万元，所以当证券C的税前收益减少为4.8%时，不应该改变投资。

3.某厂向用户提供发电机，合同规定第一、第二、第三季度分别交货40台、60台、80台，每季度的生产费用为f(x)=ax+bx^2，其中x是该季度生产发动机的台数。

若交货后有剩余，可用于下季度，但需支付存储费，每台每季度c元。

已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无2存货。

设a=50,b=0.22,c=4，问工厂应如何安排生产计划才能既满足合同要求又使总费用最低？解：设第一、第二、第三季度分别生产x1、x2、x3台发动机，则：f=50x1+0.22x1^2+50x2+0.22x2^2+x3+0.22x3^2+8(x1-40)+4(x2-60)=0.22x1^2+0.22x2^2+0.22x3^2+58x1+54x2+50x3-560s.t. x1-40+x2>=60,x1-40+x2-60+x3=80,40<=x1<=100,0<=x2<=100,0<=x3<=100.标准形式：s.t. –x1-x2<=-100,x1+x2+x3=180,40<=x1<=100,0<=x2<=100,0<=x3<=100.输入命令：>> c=[58 54 50];>> H=[0.22 0 0;0 0.22 0;0 0 0.22];>> A=[-1 -1 0];>> b=[-100];>> Aeq=[1 1 1];>> beq=[180];>> lb=[40;0;0];>> ub=[100;100;100];>> [x,fval]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation,switching to medium-scale method.> In quadprog at 236Optimization terminated.结果为：x = 41.818260.000078.1818fval =1.0835e+004所以工厂应该在第一、第二、第三季度分别生产42台、60台、78台发动机，才能既满足合同要求又使总费用最低。