练习2﹒1画出下列常见曲线的图形（其中a=1，b=2,c=3）。

1.立方抛物线y =解： x=-4:0.1:4; y=x.^(1/3);plot(x,y)-4-3-2-1012340.20.40.60.811.21.41.62.高斯曲线2xy e -=解：fplot('exp(-x^2)',[-4,4])-4-3-2-1123400.10.20.30.40.50.60.70.80.913、笛卡儿曲线2332233,(3)11at at x y x y axy tt==+=++解：ezplot('x^3+y^3-3*x*y',[-4,4])-4-3-2-101234-4-3-2-101234xyx 3+y 3-3 x y = 0或：t=-4:0.1:4; x=3*t./(1+t.^2); y=3*t.^2./(1+t.^2); plot(x,y)-1.5-1-0.500.51 1.500.511.522.534、蔓叶线233222,()11atatxx y y tta x===++-解：t=-4:0.1:4; x=t.^2./(1+t.^2); y=t.^3,/(1+t.^2); y=t.^3./(1+t.^2); plot(x,y)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4-3-2-101234或：ezplot('y .^2-x.^3/(1-x)',[-4,4])-4-3-2-101234-4-3-2-101234xyy.2-x.3/(1-x) = 05、摆线(sin ),(1cos )x a t t y b t =-=-解：t=-4:0.1:4; x=t-sin(t); y=2-2*cos(t); plot(x,y)-5-4-3-2-101234500.511.522.533.546、星形线22233333(cos ),(sin )()x a t y a t x y a ==+=解：t=0:0.1:2*pi; x=cos(t).^3; y=sin(t).^3; plot(x,y)-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81或: ezplot('x.^(2/3)+y .^(2/3)-1',[-4,4])-4-3-2-101234-4-3-2-101234xyx.2/3+y.2/3-1 = 07、螺旋线cos ,sin ,x a t y b t z ct ===解：t=0:0.1:2*pi; x=cos(t); y=2*sin(t); z=3*t; plot3(x,y ,z)-118、阿基米德螺线r a θ=解：θ=0:0.1:2*pi; r=;θ polar(θ，r)902709、对数螺线ar eθ=θ=0:0.1:2*pi;r=exp(θ);polar(θ,r)90270180010、双纽线22222222cos 2(()())r a x y a x y θ=+=-解：θ=0:0.1:2*pi;r=sqrt(cos(2*θ));90270或：ezplot('(x.^2+y.^2).^2-(x.^2-y.^2)',[-4,4])hold on;gridon-4-3-2-101234-4-3-2-101234xy(x.2+y.2).2-(x.2-y.2) = 011、双纽线222222sin 2(()2)r a x y a xy θ=+=解：t=0:0.1:2*pi; r=sqrt(sin(2*t)); polar(t,r)902701800或：ezplot('(x.^2+y^2).^2-2*x*y',[-4,4])-4-3-2-101234-4-3-2-101234xy(x.2+y 2).2-2 x y = 012、心形线(1cos )r a θ=+解：t=0:0.1:2*pi; >> r=1+cos(t); >> polar(t,r)90270180练习2.21、求出下列极限值。

(1)limn →∞解：syms nlimit((n^3+3^n)^(1/n),n,inf) ans =3（2）lim n →∞解：syms x>> limit(sqrt(x+2)-2*(sqrt(x+1))+sqrt(x),x,inf)ans =0（3）0lim cot 2n x x → 解：syms xlimit(x*cot(2*x),x,0) ans =1/2（4）lim (cos)xn m x→∞解：syms x mlimit((cos(m/x))^x,x,inf) ans =1（5）111lim ()1xn xe →--解：syms xlimit((1/x)-1/(exp(x)-1),x,1) ans =(exp(1)-2)/(exp(1)-1)（6）lim)n x →∞解：syms xlimit(sqrt(x^2+x)-x,x,inf) ans =1/22、有个客户看中某套面积为1802m ，每平方米7500元。

他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率5.04%），按揭贷款中还有10万元为公积金贷款（贷款年利率4.05%），请问他的房屋总价、首付款额和月付还款额分别为多少？解：（1）房屋总价：18075001350000S=⨯= (元)（2）首付款额：13500000.3405000N =⨯= （元）（3）房屋未付钱：945000M S N =-=(元)设揭贷款的年利率为x ，则20(1)240a x y ⨯+=其中a 为本金，y 为每月所付的钱。

解：当a =945000-100000=845000， 5.04%x =时， syms x yy=845000*(1+x)^20/240; x=0.0504; eval(y)ans = 9.4133e+003当a =100000， 4.05%x =时； syms x yy=100000*(1+x)^20/240; x=0.0405; eval(y) ans =921.7867 即每月付还款额为9413.3921.786710335.0867Z=+= (元)3、作出下列函数及其导函数的图形，观察极值点、最值点的位置点的位置并求出，求出所有驻点以及对应的二阶导函数，求出函数的单调区间。

（1）22()sin(2),[2,2];f x x x x =---解：函数图象：fplot('x.^2*sin(x.^2-x-2)',[-2,2])-2-1.5-1-0.500.51 1.52-4-3-2-1123原函数在-1附近的极小值：[x,f]=fminsearch('x.^2*sin(x.^2-x-2)',-1) x = -0.7315 f =-0.3582原函数在1.5附近的极小值： [x,f]=fminsearch('x.^2*sin(x.^2-x-2)',1.5) x =1.5951 f =-2.2080原函数在-1.5附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-x.^2*sin(x.^2-x-2)',-1.5)x =-1.5326f =2.2364原函数在0附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-x.^2*sin(x.^2-x-2)',0) x =0f =0原函数在[-2,2]上的最小值：x=-2:0.1:2;y=x.^2.*sin(x.^2-x-2);[m,k]=min(y)m =-3.0272k =1原函数在[-2,2]上的最大值：x=-2:0.1:2;y=x.^2.*sin(x.^2-x-2);[m,k]=max(y)m =2.2140k =6原函数的导函数图像：syms xy=x^2*sin(x^2-x-2);diff(y,x)ans =2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)导函数在-1.5附近的极小值：[x,f]=fminsearch('2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)',-1.5) x =-1.2650f =-5.5890导函数在1.5附近的极小值：[x,f]=fminsearch('2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)',1.5)x =1.2404f =-2.7572导函数在-2附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-(2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1))',-2) x =-1.9240f =17.6746导函数在-0.5附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-(2*x*sin(x^2-x-2)+x^2*cos(x^2-x-2)*(2*x-1))',-0.5) x =-0.4742f =0.7973导函数在[-2,2]上的最大值：x=-2:0.1:2;y=2*x.*sin(x.^2-x-2)+x.^2.*cos(x.^2-x-2).*(2*x-1);[m,k]=max(y)m =17.5338k =2导函数在[-2,2]上的最小值：x=-2:0.1:2;y=2*x.*sin(x.^2-x-2)+x.^2.*cos(x.^2-x-2).*(2*x-1);[m,k]=min(y)m =-5.5119k =8求二阶导数的程序：syms x;diff('x^2*sin(x^2-x-2)',x,2)ans=2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2 +2*x^2*cos(x^2-x-2)二阶导数的程序及图像：fplot('2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)',[-2,2])二阶导函数在-1.5附近的极小值：[x,f]=fminsearch('2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^ 2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)',-1.5)x = -1.6847f =-58.8770二阶导函数在1附近的极小值：[x,f]=fminsearch('2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^ 2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)',1)x = 0.9282f =-3.5360二阶导函数在-0.5附近的极小值：[x,f]=fminsearch('2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x^ 2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2)',-0.5)x =-0.1798f =-2.1192二阶导函数在0附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-(2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x ^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2))',0)x =0.2594f =1.4013二阶导函数在-1附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-(2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x ^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2))',-1)x = -1.0098f =14.0148二阶导函数在2附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-(2*sin(x^2-x-2)+4*x*cos(x^2-x-2)*(2*x-1)-x^2*sin(x ^2-x-2)*(2*x-1)^2+2*x^2*cos(x^2-x-2))',2)x =1.9084f =34.8519二阶导函数的增区间：【-1.6847，-1.0098】，【-0.1798，0.2594】【0.9282，1.9084】二阶导函数的减区间：【-2，-1.6847】，【-1.0098，-0.1798】，【0.2594，0.9282】，【1.9084，2】（2）53=-+-()32010,[3,3];f x x x解：函数图像程序及图像：fplot('3*x^5-20*x^3+10',[-3,3])-3-2-10123原函数在2附近的极小值：[x,f]=fminsearch('3*x^5-20*x^3+10',2)x =2f =-54原函数在-2附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-(3*x^5-20*x^3+10)',-2) x =-2f =74原函数在[-3,3]上的最小值：x=-3:0.1:3;y=3*x.^5-20*x.^3+10;[m,k]=min(y)m =-179k =1原函数在[-3,3]上的最大值：x=-3:0.1:3;y=3*x.^5-20*x.^3+10;[m,k]=max(y)m =199k =61求导函数程序：syms x;y=3*x.^5-20*x.^3+10;diff(y,x)ans =15*x^4-60*x^2导函数的程序及图像：fplot('15*x^4-60*x^2',[-3,3])-3-2-10123导函数在-1附近的极小值：[x,f]=fminsearch('15*x^4-60*x^2',-1)x =-1.4143f =-60.0000导函数在1附近的极小值：[x,f]=fminsearch('15*x^4-60*x^2',1) x =1.4143f =-60.0000导函数在0附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-(15*x^4-60*x^2)',0) x =0f =0导函数在[-3,3]上的最大值：x=-3:0.1:3；y=15*x.^4-60*x.^2;[m,k]=max(y)m =675k =1导函数在[-3,3]上的最小值：x=-3:0.1:3;y=15*x.^4-60*x.^2;[m,k]=min(y)m =-59.9760k =17求二阶导数的程序：syms x;y=3*x^5-20*x^3+10;diff(y,x,2)ans =60*x^3-120*x二阶导数的程序及图像：fplot('60*x^3-120*x',[-3,3])-3-2-10123二阶导函数在1附近的极小值：[x,f]=fminsearch('60*x^3-120*x',1)x =0.8165f =-65.3197二阶导函数在-1附近的极大值：[x,f]=fminsearch('-(60*x^3-120*x)',-1)x =-0.8165f =65.3197二阶导函数的增区间：【-3，-0.8165】，【0.8165，3】二阶导函数的减区间：【-0.8165，0.8165】（3）32=----f x x x x()|2|,[3,3];解：函数图像程序及图像：fplot('abs(x^3-x^2-x-2)',[-3,3])原函数在0附近的极小值：[m,k]=fminsearch('abs(x^3-x^2-x-2)',0) m =-0.3333k =1.8148原函数在1附近的极大值：[m,k]=fminsearch('-abs(x^3-x^2-x-2)',1) m =1k =3原函数在[-3,3]上的最大值：x=-3:0.1:3;y=abs(x.^3-x.^2-x-2);[m,k]=max(y)m =35k =1原函数在[-3,3]上的最小值：x=-3:0.1:3;y=abs(x.^3-x.^2-x-2);[m,k]=min(y)m =0k =51原函数可化简为：32322[2,3](1)2[3,2](2)x x x x x x ⎧---⎪⎨⎪-+++-⎩对（1）求导函数程序：syms x;y=x^3-x^2-x-2;diff(y,x)ans =3*x^2-2*x-1导函数（1）的程序及图像：fplot('3*x^2-2*x-1',[2,3])2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.93在区间【2,3】上导函数最小值：x=2:0.1:3;y=3*x.^2-2*x-1;[m,k]=min(y)m =7k =1在区间【2,3】上导函数最大值：x=2:0.1:3;y=3*x.^2-2*x-1;[m,k]=max(y)m =20k =11对（2）求导函数程序：syms x;y=-x^3+x^2+x+2;diff(y,x)ans =-3*x^2+2*x+1导函数（2）的程序及图像：fplot('-3*x^2+2*x+1',[-3,2])-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51 1.52导函数（2）的极大值：[m,k]=fminsearch('-(-3*x^2+2*x+1)',0)m =0.3333k =1.3333在区间【-3,2】上导函数最大值：x=-3:0.1:2;y=-3*x.^2+2*x+1;[m,k]=max(y)m =1.3300k =34在区间【-3,2】上导函数最小值：x=-3:0.1:2;y=-3*x.^2+2*x+1;[m,k]=min(y)m =-32k =1对（1）求二阶导函数：syms x;y=x^3-x^2-x-2;diff(y,x,2)ans =6*x-2对（1）求二阶导函数的图像及程序：ezplot('6*x-2',[2,3])6 x-2x对（1），二阶导函数的增区间为:[2,3]对（2）求二阶导函数：syms x;y=-x^3+x^2+x+2;diff(y,x,2)ans =-6*x+2对（2）求二阶导函数的图像及程序:ezplot('-6*x+2',[-3,2])-6 x+2x对（2），二阶导函数的减区间为:[-3,2]练习2.31、求下列方程在限制条件下的根：（1）42x x =， 22x -<<解：解：fplot('x^4-2^x',[-2,2])grid on[x,f,h]=fsolve('x^4-2^x',-1)x =-0.8613f =3.6580e-012h =1[x,f,h]=fsolve('x^4-2^x',1.1)x =1.2396f =2.3298e-010h =1（2）)0.5,1x x x x =>解：solve('x*log(sqrt(x^2-1)+x)-sqrt(x^2-1)-0.5*x','x',[1,inf])ans =2.11552288439786708008040478395542、农夫老李有一个半径为10m 的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里的一头牛拴在牛栏边界的一根栏桩上，要求只让牛吃到圆形牛栏中一半的草，请问栓牛鼻的绳子应为多长？解：3、求解下列非线性方程组在原点附近的根：222223229364362200162160x y z x y z x x y z ⎧++=⎪--=⎨⎪---=⎩ 解：fun=@(t)[9*t(1)^2+36*t(2)^2+4*t(3)^2-36,t(1)^2-2*t(2)^2-20*t(3),16*t(1)-t(1)^3-2*t(2)^2-16*t(3)^2];t0=[0,0,0];[t,f,h]=fsolve(fun,t0)t =0.1342 0.9972 -0.0985f =1.0e-008 *0.7690 -0.0418 -0.1054h =14、画出下面两个椭圆的图形，并求出它们所有的交点坐标： 2222(2)(23)5,18(3)36x y x x y -++-=-+= 解：ezplot('(x-2)^2+(y+2*x-3)^2-5',[-10,10])hold onezplot('18*(x-3)^2+y^2-36',[-10,10])-10-8-6-4-20246810-10-8-6-4-2246810x y 18 (x-3)2+y 2-36 = 0fun=@(t)[(t(1)-2)^2+(t(2)+2*t(1)-3)^2-5,18*(t(1)-3)^2+t(2)^2-36]; t0=[2,-2];[t,f,h]=fsolve(fun,t0)t =1.7362 -2.6929f =1.0e-008 *0.6598 0.6430h =1fun=@(t)[(t(1)-2)^2+(t(2)+2*t(1)-3)^2-5,18*(t(1)-3)^2+t(2)^2-36];[t,f,h]=fsolve(fun,t3)t =1.6581 1.8936f =1.0e-010 *0.0778 0.1889h =1fun=@(t)[(t(1)-2)^2+(t(2)+2*t(1)-3)^2-5,18*(t(1)-3)^2+t(2)^2-36]; t4=[4,-4];[t,f,h]=fsolve(fun,t4)t =4.0287 -4.1171f =1.0e-012 *0.1252 0.8882h = 1fun=@(t)[(t(1)-2)^2+(t(2)+2*t(1)-3)^2-5,18*(t(1)-3)^2+t(2)^2-36]; t5=[4,-6];[t,f,h]=fsolve(fun,t5)t =3.4829 -5.6394f =1.0e-014 *-0.3553 -0.7105h =1练习2.41、求下列不定积分，并用diff 验证：23,,sin ,sec 1cos 1x dx dx x x dx xdx xe ++⎰⎰⎰⎰ 解：1cos dxx+⎰ int('1/(1+cos(x))','x')ans =tan(1/2*x)验证：diff('tan(1/2*x)','x') ans =1/2+1/2*tan(1/2*x)^21x dxe +⎰ int('1/(1+exp(x))','x')ans =log(exp(x))-log(1+exp(x))验证：diff('log(exp(x))-log(1+exp(x))','x')ans =1-exp(x)/(1+exp(x))simple(ans)ans =1/(1+exp(x))2sin x x dx ⎰int('x*sin(x)^2','x')ans =x*(-1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*x)-1/4*cos(x)^2-1/4*x^2diff('x*(-1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*x)-1/4*cos(x)^2-1/4*x^2','x')ans =x*(1/2*sin(x)^2-1/2*cos(x)^2+1/2)simple(ans)ans =x*sin(x)^23sec xdx⎰int('sec(x)^3','x')ans =1/2/cos(x)^2*sin(x)+1/2*log(sec(x)+tan(x))diff('1/2/cos(x)^2*sin(x)+1/2*log(sec(x)+tan(x))','x')ans =1/cos(x)^3*sin(x)^2+1/2/cos(x)+1/2*(sec(x)*tan(x)+1+tan(x)^2)/(sec(x)+ tan(x))simple(ans)ans =1/cos(x)^32、求下列积分的数值解。