回归分析和独立性检验
一、回归分析
1、回归直线方程 a x b y
ˆˆˆ+= （x 叫做解释变量，y 叫做预报变量） 其中∑∑==---=n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b
1
2
1
)()
)((ˆ＝
∑∑==--n
i i
n
i i
i x n x
y
x n y
x 1
2
21
（由最小二乘法得出，考试时给出此公式中的一个）
x b y a
ˆˆ-= （ 此式说明：回归直线过样本的中心点)(y x ， ，也就是平均值点。

） 2、几条结论：
（1）回归直线过样本的中心点)(y x ，。

（2）b>0时，y 与x 正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y 与x 负相关，散点图呈下降趋势。

（3）斜率b 的含义（举例）：
如果回归方程为y=2.5x+2， 说明x 增加1个单位时，y 平均增加2.5个单位； 如果回归方程为y=－2.5x+2，说明x 增加1个单位时，y 平均减少2.5个单位。

（4）相关系数r 表示变量的相关程度。

范围：1≤r ，即 11≤≤-r
r 越大．，相关性越强．。

0>r 时，y 与x 正相关；0<r 时，y 与x 负相关。

（5）相关指数2
R 表示模型的拟合效果。

范围：]10[2
，
∈R 2R 越大．，拟合效果越好．
，（这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布比较均匀， 带状区域宽度越窄，拟合精度越高）。

2R 表示解释变量x 对于预报变量y 变化的贡献率。

例如：64.02
≈R ，表明“x 解释了64%的y 变化”，或者说“y 的差异有64%是由x 引起的”。

（6）线性回归模型 e a bx y ++=， 其中e 叫做随机误差。

（y 是由x 和e 共同确定的。

）
二、独立性检验
1、原理：假设性检验（类似反证法原理）。

一般情况下：假设分类变量X 和Y 之间没有关系，通过计算2
K 值，然后查表对照相应的概率P ， 发现这种假设正确的概率P 很小，从而推翻假设，最后得出X 和Y 之间有关系的可能性为(1－P), 也就是“X 和Y 有关系”。

（表中的k 就是2
K 的
观测值，即
2K k =）
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
2、2⨯2列联表： （考试给出）
部分对照表（考试时会给出用到的一部分数据）：
3、范围：),0(2
+∞∈K ； 性质：2K 越大．，说明变量间越有关系．．．。

三、典型例题
估计．．
生产7吨产品时，消耗的煤约为5.25吨。

例2、为了考察某药物预防疾病的效果，现对105人进行
试验调查，得到2⨯2列联表。

试判断：服用药物和患病之间是否有关系？
解：105=n ，10=a ，45=b ，20=c ，30=d
75
305055)20453010(1052
2
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K
≈6.109>5.024 （提示：运算时尽量先约分化简，再计算）
所以，有1－0.025＝97.5%的把握认为服用药物和患病之间有关系。