2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁UA= ．2．（4分）若，则= ．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x= ．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{an}的前n项和（n∈N*），则= ．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组13．（5分）若数列{an的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm216．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{an }的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈Pk={x|ak﹣2＜x＜ak+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质Pk．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设Sn 为数列{an}的前n项和，若{Sn﹣2λan}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质Pk；（3）设Hn 是数列{Tn}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质Pk，求所有满足条件的k的值．2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁UA= {1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，∴∁UA={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则= ．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x= ﹣1 ．【解答】解：∵方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84 ．【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x＜1或1＜x≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：∵=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=2sin（x+）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i﹣（1+i）=0，即（a+bi）×2i﹣1﹣i=0，则2ai﹣2b﹣1﹣i=0，∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i，则=+i，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．8．（5分）若数列{an}的前n项和（n∈N*），则= ﹣2 ．【解答】解：数列{an}的前n项和（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣3+2+1=0；当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=﹣3n2+2n+1+3（n﹣1）2﹣2n+2﹣1=﹣6n+5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16 ．【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x2﹣10x+9=0，则：x1+x2=5，，则：x1y2+x2y1=x1（5﹣x2）+x2（5﹣x1），=5（x1+x2）﹣2x1x2，=25﹣9，=16．故答案为：16．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15 ．【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得ai =i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为[0，6] ．【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin（θ+），∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin（θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，即有f（x）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，图象关于直线y=x对称，可得f（x）的图象过点，或，由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f（x）的值域不是；f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是．故③不对；当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）﹣x有两个零点；当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）﹣x没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组13．（5分）若数列{an的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a}（n∈N*）是等比数列，n则有===，则方程组的解有无数个；故选：C．14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m＞0，∴函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，f（0）=0，∴m∈R，∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）≤（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立．由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．故选：C．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2，∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．∴PO⊥平面ABC，OC⊥AB，∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），P（0，0，），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB与CD所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0＜C＜π，解得：C=，△ABC面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2﹣2abcosC，c=2，所以：20=（a+b）2﹣3ab，解得：a+b=4，所以：．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，∴a=t，c=t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，∴a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得t=2，∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1，∴N（0，2），∴=（﹣2，2），∴k==﹣1，∵向量与向量平行，∴直线F1M的斜率为﹣1，∴直线方程为y=﹣x﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M（﹣，），∴|F1M|==，点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，∴△F1MN的面积=|F1M|•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）=x2﹣2，y2=λy1，∴x2=λx1+2（λ+1）∵+=1，∴x22+2y22=8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1=8，∴4λ（λ+1）x1=（1﹣3λ）（λ+1），∴x1==﹣3，∴y12=4﹣，∴||2=（x1+2）2+y12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y12=4﹣=2﹣==，∴y1=，∴k==﹣，∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=021．（18分）设d为等差数列{an }的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈Pk={x|ak﹣2＜x＜ak+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质Pk．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设Sn 为数列{an}的前n项和，若{Sn﹣2λan}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质Pk；（3）设Hn 是数列{Tn}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质Pk，求所有满足条件的k的值．【解答】解：（1）（n∈N*），可得n=1时，T1+=﹣b1=﹣T1，解得b1=﹣，T 2+=b2=﹣+b2+=b2，T 3+=﹣b3=﹣+b2+b3+，即b2+2b3=，T 4+=b4=﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=﹣，同理可得b4=，b5=﹣，b 6=，b7=﹣，…，b2n﹣1=﹣，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=﹣，d=，an=，P 6={x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）={x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设Sn 为数列{an}的前n项和，若{Sn﹣2λan}是单调递增数列，可得Sn+1﹣2λan+1≥Sn﹣2λan，即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又Pk ={x|ak﹣2＜x＜ak+3}（k∈N*，k≥3），且a1=﹣，d＞0，可得Pk中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质Pk；（3）设Hn 是数列{Tn}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质Pk，由于H1=T1=b1=﹣，H3=T1+T2+T3=﹣，H5=T1+T2+T3+T4+T5=﹣，H 7=﹣+0﹣=﹣，…，H2n﹣1=H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k=3时，P3={x|a1＜x＜a6}={x|﹣＜x＜}，当k=4时，P4={x|a2＜x＜a7}={x|﹣＜x＜}，当k=5时，P5={x|a3＜x＜a8}={x|﹣＜x＜1}，当k=6时，P3={x|a4＜x＜a9}={x|0＜x＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B= ．2．（4分）不等式＜1的解集为．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）= ．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|= ．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是．9．（5分）已知等比数列前n项和为Sn ，则使得Sn＞2018的n的最小值为．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．015．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22 B．23 C．24 D．3316．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1 B．2 C．D．2π2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．19．（14分）已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．（1）求p的值及{an}的通项公式；（2）在等比数列{bn }中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{cn }的前n项和Tn．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f （x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f （y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx （D）⊊D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn ⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B= {1，3} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．2．（4分）不等式＜1的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）．【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）= 3 ．【解答】解：令f﹣1（5）=a，则f（a）=2a﹣1=5，解得：a=3，故答案为：3．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为﹣1 ．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣15．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|= ．【解答】解：∵复数z满足，∴z=，化为4z=，即z=，∴|z|==．故答案为：．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是80 ．【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）5﹣r，今r=2，∴T3=23C52x3=80x3．∴x3的系数是80．故答案为：807．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．故答案为：．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是[﹣5，3] ．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），可得|a+1|≤4，即﹣4≤a+1≤4，解得﹣5≤a≤3，则实数a的取值范围是[﹣5，3]．故答案为：[﹣5，3]．9．（5分）已知等比数列前n项和为Sn ，则使得Sn＞2018的n的最小值为10 ．【解答】解：根据题意，等比数列为{an}，其首项a1=，公比q==3，其前n项和Sn==（3n﹣1），若Sn＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，则n≥10，故答案为：10．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为36π．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2π×3=×l，解得l=9，∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．故答案为：36π．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为π．【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）=cosωx的图象，令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，∴•≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，故答案为：π．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为2．【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2），∵直线OM与ON的斜率之积为2，∴•=2，所以2x1x2﹣y1y2=0，①，∵动点P满足，∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2），则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4．∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2=4（2x12﹣y12）﹣（2x22﹣y22）﹣4（2x1x2﹣y1y2）=4×4﹣4﹣4（2x1x2﹣y1y2）=12﹣4（2x1x2﹣y1y2），把①代入上式得：2x2﹣y2=12，即﹣=1，所以点P是双曲线﹣=1上的点，因为即﹣=1的两个焦点为：F1（﹣3，0）、F2（3，0），所以||PF1|﹣|PF2||为定值2．故答案为：2．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，故选：B．14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为﹣2，故选：B．15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22 B．23 C．24 D．33【解答】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，∴，解得e11k=，∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×e b=（）3×192=24（小时）．故选：C．16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1 B．2 C．D．2π2【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）=0有三个实数根，∴f（0）=0，即0++a=0，故有a=﹣，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，∴x2=0，且+arcsin（cosx1）﹣=0，x 32+arcsin（cosx3）﹣=0，x 1=﹣x3，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣arcsin（sin（﹣x））=﹣（﹣x））=x，则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则x12+x22+x32=0+1+1=2．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分）∵AB=2，AD=1，A1A=1．∴在等腰△ACD1中，∴cos∠CD1A===，…（4分）∴异面直线BC1与CD1所成的角．…（1分）（2）…（4分）==．…（3分）18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．【解答】解：（1）由，∴2ccosC+acosB+bcosA=0，由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，∴2sinCcosC+sin（A+B）=0；2sinCcosC+sinC=0；由sinC≠0，∴，∴；（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，∴7b2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+ab﹣6b2=0，∴a=2b；由知，，∴，∴b=2．}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p 19．（14分）已知等差数列{an∈R）．}的通项公式；（1）求p的值及{an（2）在等比数列{bn }中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{cn }的前n项和Tn．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，当n≥2时，有an =Sn﹣Sn﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2，则an+1=2p（n+1）﹣p+2，∴an+1﹣an=2p=2，∴p=1，an=3+（n﹣1）2=2n+1，（2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9，∴q=3，，当n=2k，k∈N*时，T n =a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1）==；当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，=，∴．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．【解答】（1）解：由，得，∴…①又△AF1F2周长为，∴…②联立①②，解得．∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．，，依题：kAB +kAC=﹣1，即：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，得，则m=﹣2k﹣1．∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；（3）解：lAE：x+y﹣1=0，．设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，由，得．由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．得两切线到lAE：x+y﹣1=0的距离分别为，∴，．当时，△AEP个数为0个；当时，△AEP个数为1个；当时，△AEP个数为2个；当时，△AEP个数为3个；当时，△AEP个数为4个．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f （x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f （y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx （D）⊊D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn ⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分）t=x+1∈（1，2），g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分）（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D．函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），得到：D=f（D）．…（2分）在D=[a，b]单调递增．则f（a）=a，f（b）=b在[﹣1，+∞）两不等实根．，故，解得．另解：在[﹣1，+∞）两不等实根．令k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，故解得．（3）如果f（D）=D，则fn（D）=D，与题干矛盾．因此f（D）⊊D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1⊊D．接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D{D1，则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）．考虑到p∈D\D1，即，因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D\{p}）=f（D）\{f（p）}=D1\{f（p）}⊊D1这样就有了f（D1）⊊D1．接着令Dn+1=f（Dn），并重复上述论证证明Dn+1⊊Dn．2018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M= ．2．（4分）计算= ．3．（4分）方程的根是．4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则= ．5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为（用数字作答）8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是（结果用反三角函数表示）9．（5分）已知数列{an }、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009= ．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是．11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F 1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是．12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k 的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直D．l1、l3相交且垂直14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bc B．ad＜bc C．ac＞bd D．ac＜bd15．（5分）无穷等差数列{an }的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是（）A．①②B．③④C．②③D．②④三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x ∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an }，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．。