所以产生拍音的频率为： f f 0 f 2 求解得到，音叉的频率为： f 0 204 Hz 音叉以新速率运动，重复相同分析：
3分 3分
u 1 1 f f 0 f 2 f 0 f 1 V f 0 32 Hz H u u 1 1 V V 1
t2 解：（1）设在 K 系中，事件1、2发生在同一时刻： t1 代入洛伦兹变换 得到： 代入洛伦兹变换，得到： t1 2 x1 t 2 2 x2 c c t t
1
c c2 求得： 0.5c 即坐标系 K 相对坐标系K以0.5c 0 5c的速度沿 的速度沿-x方向运动。gL2 l dl dx 0 2YS YS YS 0.32mm 0.024mm 0.344mm
L
6分
六、高铁站台上有黄色警戒线，用于提醒乘客不要太靠近高 铁。请分析原因。 (10分) 解：根据伯努利方程，气流速度快的一侧压强低，在高铁经 解 伯努利方程 气流速度快的 侧 低 在高铁 过乘客时，使得乘客靠近高铁的一侧压强降低，乘客两侧 的压强差导致乘客被推向高铁 很危险 的压强差导致乘客被推向高铁，很危险。 10分
3分
3分
B
3k 2m
3分
d 2 x'C d 2 x'C 3k 3 kx'C x'C 0 m 2 2 dt 2 2m dt 因此球 此球C在质心系中做简谐振动，角频率为 在质心系中做简谐振动 角频率为 C
3k B 2m
3分
设球B在质心系中做简谐振动的振幅为 A ' B
1 根据机械能守恒，有： 1 1 2 3k A ' B 2 m 0 3 2 2
解得：
A 'B
2
0 2m
3 3k
5分
五、有 根1.5m的质量可以忽略的细绳，横截面为2.4 mm2。 五、有一根 如果将细绳垂直悬挂，下端挂一个10kg的重物，那么细绳伸长 0.32mm。请计算绳子上端上受到的应力、应变和细绳的杨氏 模量 如果细绳的质量为1.5kg且密度均匀分布，那么杨氏模 模量。如果细绳的质量为 且密度均匀分布 那么杨氏模 量不变的情况下，细绳的伸长为多少？(15分) 解：绳子上受到的应力为： F Mg g 10kg g 9.8m s 2 7 2 4 . 1 10 N m S S 2.4mm 2 绳子的应变为： 绳子的应变为 L 0.32mm 2.1 10 4 L 1.5m
两球在水平方向上都只受弹簧弹力作用，因此它们水平方向 两球在水平方向上都只受弹簧弹力作用 因此它们水平方向 受的力始终大小相等，方向相反，有： F F aB aC 2m m
1 'B 0 0 3
2 'C 0 0 3
3分
由以上可得： 'C 2 ' B aC 2 aB 可以推出 x 'C 2 x ' B 所以，当球B在质心系中偏离平衡位置 x 'B 时，弹簧长度的 改变量为 x x 'B x 'C 3x 'B 改变 则弹性力为 F k x 3kx 'B 对于球B，由牛顿第二定律，有 d 2 x' B d 2 x'B 3k 2m 3kx'B x' B 0 2 2 dt dt 2m 因此球B在质心系中做简谐振动，角频率为 对于球C，由牛顿第二定律，有
2
1

2
1

2
2
5分
（2）得到 ）得到： t1 t2
t1

c
2
x1
2
1
2
c
3 1 .7 y
5分
八、飞船上有一个观察者A′，用一把激光枪对如图放置在飞 船上一面镜子的发射激光 船上 面镜子的发射激光，枪与镜子的距离为 枪与镜子的距离为D=15光分，飞 光分 飞 船相对于坐标系S′是静止的，并且相对于S系中静止的一个很 动，S、S′相对运动的速率为 动 为 0.80c 。平台上 长的平台运动， 有2个校准的钟，一个位于平台x1处，另一个位于平台x2 。当 发射激光时，激光枪经过x1正上方，当激光从镜子返回激光 枪时 激光枪经过x2的正上方。请在 枪时，激光枪经过 的正上方 请在S、S′系中，求：（ 系中 求 （1） 两个事件的时间间隔（发射激光和收到激光这两个事件）； （2）在S系中之间， 系中之间 x1 、 x2相距多远。 相距多远 (15分)
6分
四、在光滑的水平地面上，质量分别为2m和m的小球B和C 用 根劲度系数为k的均匀轻质弹簧链接，开始时 用一根劲度系数为 的均匀轻质弹簧链接 开始时B和C静止， 静止 弹簧处于自由长度状态。如图所示，使B具有朝着C的初速度 0，在 在{B，C，弹簧 弹簧}系统质心系中， 系统质心系中 B和C相对于质心是否做 简谐振动？为什么？如果是在做简谐振动，请确定振动角频 率和B相对于质心振动的振幅。(15分) 解：设初始时系统质心速率为 有 2m 0 m 0 (2m m) 2 0 3 则两球在质心系中的速率分别是：
Fiy i 0; FDB
FDA
DO DO DO FDC FDA 0 DB DC DA
3分
DB 20 3 , DA 20 5 ;
EO AO Fiz 0; FDB 2 FDA P0 DB DA 5 FDA P 745N, FDB=FDC=289N。 3
镜子 镜子
D
S′ 系
D
S′ 系
S系 v x1 x2 v x1 x2
S系
解：（1）发射时， S′系中时空坐标为： 0 t1 t1 0 发射时，两个 , , 0 x1 x1 0 坐标系原点都 位于x1处，且 ? t2 t2 ? 对钟清零 ? x2 ? x2 接收时 S′系中，激光发射再返回共行走了 接收时， 系中 激光发射再返回共行走了2个15光分，共用 光分 共用 时30分钟，此时飞船的钟到了x2处，所以 t 2 30 min, x2 0 。 S系中，这 系中 这一过程共用时 过程共用时t，对应的： 对应的：t 2 t , x2 t
C O
l,m
M
杆物相撞，角动量守恒 1 2 1 2 ml 1 Ml ml 2 3 3 物体被撞后，动能被摩擦力消耗，能量守恒 1 Mgs M 2 2 gs 2
3分
3分
代入上式，得到：
3m lg 3M 2 gs 3 g 3M 2 gs 2 ml l ml m 2l 2 0 时，杆往左摆；反之往右摆 2 6M s
七、坐标系 K 相对坐标系K以一定速度运动。当两个坐标系 的原点相遇时 两个坐标系上的时钟设为0。在 的原点相遇时，两个坐标系上的时钟设为 在K系，事件 系 事件1、 2发生的时空坐标分别为： t1 1.00 y, x1 1.0c y; t 2 0.50 y ， x2 2.0c y。在 在K 系中，事件 系中 事件1、2是同时发生的。 是同时发生的 K 系什么时刻， 请计算：（1）K 系相对于K系的速度。（2） (10分) 两个事件同时发生？(
5分 5分 5分
2014年秋季 力学期末考试参考答案
一、重量P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定在同一墙 FDC 上 求 杆AD、绳 上，求：杆 绳DB，DC的张力。（10分） 的张力 （10分）
解：参考D点受力点，
Fix 0; FDB
BE CE FDC 0 DB DC
3分
FDB
[D] P
BE CE DB DC,则： BE=CE,DB=DC 则 FDB=FDC
碰后，杆摆动，能量守恒
3分
11 2 2 1 ml 2 mgl mgh 23 2 M h 1 m 6 s 3M 2 s l 2 l m l
3分
三、一音叉以2.5 m·s-1的速率接近墙壁，观察者在音叉后面 听到拍音的频率为3Hz。如果音叉速率变为25 m·s m s-1 ，问观察 问观察 者听到的拍音频率为多少。已知声速为340 m·s-1。(15分) 解：设音叉频率为： 解 设音 频率为 f 0 音叉发出声音到达墙壁，音叉是波源，墙壁是观察者， 所以墙壁收到的声音频率为： 所以墙壁收到的声音频率为 1 其中，u为波源相当于介质的速度，指 f1 f0 u 向观察者；介质中的声音速度为V 3分 1 V 墙壁反射声音，音叉接收声音产生拍音，墙壁是波源， 音叉是观察者，所以音叉收到的声音频率为： u 其中，u为观察者相当于介质的速度， f 2 1 f1 指向波源；介质中的声音速度为V V
3分
3分 3分
绳子的杨氏模量为 绳子的杨氏模量为： Y 1.91 1011 N m 2
k 绳子的线密度为： m 1.5kg 1kg m 1 L 1.5m
0 x L
M
x处绳子上受到的应力为： Mg g L x S x处的dx绳子的伸长量为： dl Mg g L x dx Y YS 对x从0到L积分，可以得到总的伸长量： 积分 可以得到总的伸长量
4分
理论 力学
二、如图，一个长度为l质量为m的细杆可绕端点O的水平轴 转动 从水平位置自由释放 在竖直位置与物体M相碰，物 转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体 相碰 物 体与地面摩擦系数为，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s 后停止。求碰后杆质心C离地面的最大高度，并说明杆向左 或向右摆的条件。(15分) 解：自由下落过程，能量守恒 解 自由下落过程，能量守恒 1 1 2 1 mgl mgl I1 其中 I ml 2 2 2 3 3分 解得： 1 3 g l
S′系中时空坐标为： ? t1 ? x1