1 0 其方差协方差阵为 e 0 1
例2：结构VAR与标准VAR
标准化，或简化式
y1t 0.05 1.04 y1t 1 0 0.3 y1t 2 1t y y 0.5 0.4 y 0 0 2t 2 2t 2t 1 2t
例3
判断下面的随机过程是否是平稳的
y1t 0.1 0.008 0.461 y1t 1 1t y 0.3 0.232 0.297 y 2t 2t 1 2t
2 1
3 1 T
预测的均方差阵
(h) M 1 M 1 ' M h 1 M h 1 ' M0 I,Mi
min( p ,i ) j 1

j
M i j , i 1,2,...
VAR(1) Mi=1i
预测区间
95％置信区间
ˆ ˆ y1,T (1) 1.96 1 (1) ˆ ˆ y 2,T (1) 1.96 2 (1) ˆ ˆ y1,T (2) 1.96 1 (2) ˆ ˆ y 2,T (2) 1.96 2 (2)
估计VAR模型
当滞后长度p确定以后，VAR（p）模型的未知参 数为 C , 1 ,, p , 估计方法：每个方程用OLS法估计，可以得到的 一致估计量
预测
预测公式
YT (h) C 1YT (h 1) pYT (h p)
i h, YT (h i) YT hi
T n 2 p ln T ˆ BIC(p)=lndet( p)+ T
n是向量维数，T样本长度，p滞后长度，ln表示自 ˆ 然对数，det表示对矩阵求行列式， p 是当滞 后长度为p时，残差向量白噪声协方差阵的估计。
定阶
与单变量模型相同选择滞后长度存在以下缺陷： 1）选择不同的准则具有主观任意性。不同准则会得到不同 的滞后长度. 2）实际序列可能不是有限维的随机过程, 但是对平稳时间 序列用有限滞后长度的VAR模型来建模可以得到令人满 意的结果，但实际上很多时间序列是不平稳的。对于不 平稳的时间序列VAR模型不能很好的近似不平稳的所有 性质. 3）即使数列为平稳的,如果实际的滞后长度大于Q，那我们 就得不到正确的滞后长度。
预测－VAR(1)
样本长度为T，对T+1，T+2，…进行预测
Yt C 1Yt 1 t
YT (1) C 1YT
2 YT (2) C 1YT (1) C 1C 1 YT
YT (3) C 1YT ( 2) ( I 1 )C Y
预测总结
预测有许多前提假设： 假设是平稳过程；假设正态分布；是VAR（1）过 程；并且参数是估计的不是已知的。 所以需要检验这些假设是否正确。一个方法是把 预测值与实际值比较。 如果预测值都包含在相应的置信区间内。从预测 角度不能否认模型的正确性。
1 0 0.008 0.461 0 1 0.232 0.297 z 0
解特征方程，得z1=-4.877，z2=1.961, 所以该模型 是稳定的
VAR模型定阶
AIC(Akaike赤池)和SC(Schwarz施瓦兹)准则
ˆ p )+ 2n 2 p AIC(p)=lndet(
展开
y1t 0.1 0.2 y1t 1 0.1 y 2t 1 1t y 2t 0.3 0.5 y1t 1 0.7 y 2t 1 2t
标准VAR模型的特点
（1）每个分量都是内生变量 （2）每个方程的解释变量都相同，是所有内生变 量的滞后变量 （3）Yt 的动态结构由它的p阶滞后就可以刻画出 来，p时刻之前的变量对Yt 无影响。 4）回忆联立方程，VAR模型是联立方程的简化形 式。
级计量经济学－6
VAR模型
向量自回归模型VAR

定义 稳定条件 预测
定义：p-阶向量自回归模型（p-阶向量 自回归过程）
对一个n维时间序列{ Yt }，tT，T={1，2，…}来说，如果
其中E(t)=0 E(t ’t )=
Yt C 1Yt 1 pYt p t
例2：结构向量自回归模型
方程中包括同期解释变量
y1t 0.1 y 2t y 2t 1 0.3 y 2t 2 e1t y 2t 0.5 y1t 1 0.4 y 2t 2 e2t
其中
e1t 是独立同分布向量白噪声过程 e 2 t
0 t t
并且不同时刻t相互独立同分布，服从正态分布 则该式为p-阶向量自回归模型，满足该模型的随机过程为 p-阶向量自回归过程，记为VAR（p）。这种形式称为标 准的VAR模型。 或简化式。
例1
VAR(1)
y1t 0.1 0.2 0.1 y1t 1 1t y 0.3 0.5 0.7 y 2t 1 2t 2t
1t e1t 0.1e2t
1.01 0.1 0 .1 1
2t=e2t
向量自回归模型稳定条件
把模型用滞后算子的形式写出，特征方程为：
I n 1 z 2 z 2 p z p 0
如果特征方程的根在单位圆外，则VAR（p）模型 是稳定的。