二、结构坐标系中(整体坐标xoy)
α
u1 v 1 1 (e) D u 2 v2 2
(e)
x
X1 Y 1 M1 (e) F X 2 Y2 M 2
M BE 4 0.75 B 3 B =3.4 M EB 2 0.75 B 1.5 B =1.7
3、列位移法方程
M M
B
M 0 2 1.7 0 10 BA B M BCC M BE M 9 41 CD M M.CF 2 7 0 CB B C
e
y
1
v1
x
l
1 2
单元编号 杆端编号 单元坐标 杆端位移编号
(b)
2
u2
u1
v2
2
(c) X 1
1 M1
Y1
M2 X2 Y2
杆端力编号
8
三、结点位移向量、结点力向量
1、结点位移向量
D5 D4 D6
结点位移分量按结点码顺序及u v 的顺序 排列组成的向量
D9 D7
D8 3
u D 1 1 ① D v1 2 结构的结点位移向量为： ② D 1 3 D u P P 4 2 D1 1 1 1x v D D 2 P P 5 J D3 2 1y D 2 P D2 P 6 1M 3 u D P P 3 7 4 2x y v D 3 P P 8 相应地结点力向量为： P 5 2 y J D P P 3 9 6 2M P P 7 3x P 8 P 3y P P 9 3M
D D
ql 2 20 4 2 .m 40 kN mBA 8 ql 2 8 20 5 2 kN .m MBA 41.7 mBC 12 12 mCB 41.7 kN .m
令EI=1
4m 4m
3I 0.75 3I 0.5 M图(kN.M) 0.75 MCD 0.5 MCB E E 1.7 MCF 4.9F F
第十章
1
矩阵位移法基本思想
2
位移法基本方程

k11Z 1+ k12Z 2+ · · · · · · · · · · + k1nZ n+R1P=0 k21Z 1+ k22Z 2 +· · · · · · · · · · + k2nZ n+R2P=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · kn 1 Z 1 + kn 2 Z 2 + · · · · · · · · · · + knnZ n+RnP=0
QAB
θB
QBA B
θA
MAB A
↓↓↓↓↓↓↓↓
⑵一端铰结或铰支的等直杆
θA
MAB A
↓↓↓↓↓↓↓↓
B
θB
⑶一端为滑动支承的等直杆 M AB i A i B mAB M BA i B i A mBA
(4)已知杆端弯矩求剪力 M AB M BA 0 QAB QAB l
用矩阵形式表示
k11 k 21 k n1
k1n Z1 R1P k 22 k 2 n Z 2 R1P k n 2 k nn Z n R nP k12
一、矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是：
先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条 件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有 限个简单单元的分析与集成问题。 有限单元法的两个基本环节： 1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵(物理关系) 2）整体分析：由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵，建立结构的 7 位移法基本方程(几何关系、平衡条件)
↓↓↓↓↓↓↓↓
6、画M图
4m
§10-1 概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以 矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段， 三位一体的方法。
手算与电算的不同： 手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧， 运算次数较少的方法。 电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过 程程序化，通用性强的方法。
2
x

9
四、杆端位移、杆端力及其正负号规定
一般单元： 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量，
这是平面结构杆件单元的一般情况。
符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x 座标与杆轴重合； 一、单元坐标系中 1 (a) 图(b)表示的杆端位移均为正方向。 2 EAI
(e)
u1
2
2
u2
2
X1
v2
Y1
X1 Y1 (e) M1 F X 2 Y2 M 2
(e)
M2 X2 Y2

凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于单元座标系而言的。
11
•选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。 •选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各 单元的刚度矩阵
e
y
1
v1
x
l
1 2
单元编号 杆端编号 单元坐标（局部坐标） 杆端位移编号
(b)
2
u2
u1
v2
2
(c) X 1
1 M1
Y1
M2 X2 Y2
杆端力编号
10
（1）单元杆端位移向量
1
（2）单元杆端力向量
1 M1
1
v1
u1 v 1 (e) 1 D u2 v2 2
5、回代 6、画M图
C
4、解方程
θB=1.15
θC=－4.89 位移不是真值!!
5
1、基本未知量θB、Δ
2、列杆端力表达式 3kN/m
Δ
B θ B
Δ 2i
C
3 4 2 =－13.89 M AB 2i B 6i i i 4 12 3 4 2 D A M BA 4i B 6i =－4.42 8m 4 12 M BC 3(2i ) B =4.44 M DC 3i =－5.69 4 QBA QCD 0, M BA M BC 0 10i 1.5i 4 0 M B 解之： B 4.42 θ=0.74/i 15 i X 0, QBA QCD 0 1.5iJB 6 0 Δ=7.58/i 4.44 16 M AB M BA 3i 0 6 3、列位移法方程 QBA M图(kN.m) QBA 1.5i B l 4 M DC 0 3i 4、解方程 QCD 13.89 5.69 5、回代 l 16 6
[K]{Z} =-{RP}
3
§9-7 用直接平衡法 建立位移法方程
1、转角位移方程： ⑴两端刚结或固定的等直杆
+mAB l M BA 2i A 4i B 6i +mBA l M AB 4i A 2i B 6i
M AB 3i A 3i M BA 0 m AB l
4
Δ
MBA MBA
MAB
θA
β
↓↓↓↓↓↓↓↓
算例 作弯矩图 4m 4m
1、基本未知量θB、θC 2、列杆端力表达式
40
46.9 43.5 20kN/m 24.5 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 62.5 C A 4I i= 1 5I 1 B A C B 3.4 1 1
14.7
4I 1 9.8 1
二、单元码、结点码，单元坐标系、结构坐标系
一般单元： 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量，
这是平面结构杆件单元的一般情况。
符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和单元坐标，单元坐标的 x 座标与杆轴重合； 1 (a) 图(b)表示的杆端位移均为正方向。 2 EAI
(e)
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X1
M1
α
x
Y1
y
M2 X2 Y2 12
2m 2m
5m 5m
4m 4m
MBC
M BA 3 B 40 =43.5 MBE M BC 4 B 2 C 41.7 =－46.9 M CB 2 B 4 C 41.7 =24.5 M CD 3 C =－14.7 M CF 4 0.5 C 2 C =－9.78 M FC 2 0.5 C C =－4.89