平面向量三点共线定理的推论及空间推广南昌外国语学校 梁懿涛邮编：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校电话： 电子信箱：一．问题的来源 平面向量三点共线定理:对于共面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1x y +=．二．问题的提出问题1.在上述定理中，如果1x y +<、1x y +>时，分别有什么结论问题2.x 、y 有什么特定的意义吗问题3.上述问题可以推广到空间吗三．问题的解决 推论1. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则（1）点C 在直线AB 外侧（不含点O 一侧）的充要条件是1x y +>．（2）点C 在直线AB 内侧（含点O 一侧）的充要条件是1x y +<． 证明：（1）必要性：如图1-1，连OC 交AB 于点C '，则存在实数λ，使得(1)OC OC λλ'=>u u u r u u u u r ，(1)OC x OA y OB x y '''''=++=u u u u r u u u r u u u r ，OC x OA y OB λλ''∴=+u u u r u u u r u u u r ，,x x y y λλ''==，()1x y x y λ''∴+=+>．充分性：1x y +>Q ，∴存在1λ>，使得,x x y y λλ''==且1x y ''+=． ()OC x OA y OB OC λλ'''∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ，C 'Q 在直线AB 上，C ∴在直线AB 外侧．同理可证（2）．进一步分析，得： 推论1'. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则（1）连接AB 得直线1l ，过点O 作平行于1l 的直线2l ，则1l 、2l 将平面OAB 分成三个区域，如图1-2点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：（Ⅰ）区：1x y +>；（Ⅱ）区：01x y <+<；（Ⅲ）区：0x y +<．特别地，当点C 落在1l 上时，1x y +=；当点C 落在2l 上时，0x y +=．（2）直线OA 、OB 将平面OAB 分成四个区域，如图1-3，则点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：00x y >⎧⎨>⎩；（Ⅱ）区：00x y <⎧⎨>⎩；（Ⅲ）区：00x y <⎧⎨<⎩；（Ⅳ）区：00x y >⎧⎨<⎩．证明略．推论2.若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r (1x y +=，0)xy ≠，则||||||||AC y BC x =，且当0,0x y >>，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>，则点C 在线段AB 的延长线上． 证明：OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r Q 且1x y +=，OC xOC yOC xOA yOB ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，xCA yBC =u u u r u u u r ， ||||||||AC y BC x ∴=。

当0,0x y >>时，CA u u u r 与BC uuu r 同向，如图2-1所示，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC <，如图2-2所示，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC >，如图2-3所示，则点C 在线段AB 的延长线上．推论3. 点O 是ABC ∆所在平面上且与,,A B C 不重合的一点，若0,0xOA yOB zOC xyz ++=≠u u u r u u u r u u u r r ，则||||OAB ABC S z S x y z ∆∆=++，||||OBC ABC S x S x y z ∆∆=++，||||OCA ABC S y S x y z ∆∆=++． 证明：只证,,0x y z >的情形，其它情形可类似证明．由0xOA yOB zOC ++=u u u r u u u r u u u r r 得()y z y z AO OB OC x y z y z +=+++u u u r u u u r u u u r ，1y z y z y z+=++Q ，∴存在点D 使得y z OD OB OC y z y z =+++u u u r u u u r u u u r ，且||||BD z DC y =，y z AO OD x+∴=u u u r u u u r ，||||AO y z OD x +∴=，如图3，OAB ABC S z y z z S y z x y z x y z ∆∆+∴=⨯=+++++，同理有||OBC ABC S x S x y z ∆∆=++，||||OCA ABC S y S x y z ∆∆=++，命题得证． 将以上结论拓展到空间，得： 推论4. 对于不共面的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r ,若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则：（1）若1x y z ++=，则点P 在平面ABC 上（空间向量基本定理）；（2）若1x y z ++>，则点P 在平面ABC 的外侧（不含点O 一侧）；（3）若1x y z ++<，则点P 在平面ABC 的内侧（含点O 一侧）．证明：仿照推论1，略． 推论5. 对于不共面的向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r ，若(1)OP xOA yOB zOC x y z =++++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（1）||||PAB ABC S z S x y z ∆∆=++，||||PBC ABC S x S x y z ∆∆=++，||||PCA ABC S y S x y z ∆∆=++； （2）::||:||:||PAB PBC PAC S S S z x y ∆∆∆=；（3）||||O PAB O PABC V z V x y z --=++，||||O PBC O PABC V x V x y z --=++，||||O PCA O PABC V y V x y z --=++． 证明：（1）()OP xOA yOB zOC x y z OP =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，0xPA yPB zPC ∴++=u u u r u u u r u u u r r ， 由推论3，可知结论成立．（2）由（1）得证．（3）||||O PAB PAB O PABC ABC V S z V S x y z -∆-∆==++，同理可证||||O PBC O PABC V x V x y z --=++，||||O PCA O PABC V y V x y z --=++． 推论6.已知四面体ABCD 及与其顶点不重合的点O ，若0aOA bOB cOC dOD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，则:::||:||:||:||O BCD O ACD O ABD O ABC V V V V a b c d ----=．证明：只证,,,0a b c d >的情形，其它情形可类似证明． 由0aOA bOB cOC dOD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，得aOA bOB cOC dOD b c d b c d ++-=++++u u u r u u u r u u u r u u u r ，令bOB cOC dOD OP b c d ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则,,,P B C D 四点共面，由推论5，::::PCD PBD PBC S S S b c d ∆∆∆=，又aOA OP b c d-=++u u u r u u u r ，如图4，知||:||:()OP OA a b c d =++，O ABD c b c d c V b c d a b c d a b c d-++∴=⨯=++++++++，同理可证O BCD a V a b c d -∴=+++，O ACD b V a b c d -=+++，O ABC d V a b c d -=+++，命题得证． 四．结论的应用1．（2006年湖南（理））如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u v u u u v u u u v ，则x 的取值范围是 ；当12x =-时，y 的取值范围是 ．解析：由推论1及推论1'，有0x <，且当12x =-，有1O x y <+<，即1131222O y y <-+<⇒<<． 答案为：0x <，（12，32）． 2．（2009年安徽卷（理））给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹角为0120．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB u u u v 上变动．若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r 其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________． 解析：由推论3，OAB OBC OAC S OC S OA S OB ∆∆∆=+u u u r u u u r u u u r，)3OBC OAC OBC OAC OAB OAB S S x y S S S S ∆∆∆∆∆∆∴+=+=+，设AOC α∠=，2[0,]3πα∈， 112sin ,sin()223OAC OBC S S παα∆∆==-，1123[sin sin()](sin )2sin()232233226x y ππααααα∴+=+-=+=+≤，此时3πα= 3．(2010年高考天津卷理)如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，,||1BC AD ==u u u r u u r u u u r ，则AC AD u u u r u u u r g = ．解析：||||CD BC =Q ∴由推论2，得(1AC AB =-u u u r u u u r u u r，2[(1]AC AD AB AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u r u u u r u u r．4．（2011届黑龙江省哈尔滨三中高三10月月考理）如图所示，两射线与交于，下列向量若以为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是 .①；②；③；④； ⑤．解析：由推论1及推论1'，可知,OA OB u u u r u u u r 的系数,x y 要满足001x y x y >⎧⎪>⎨⎪+≥⎩，适合的只有②．答案为②．5．（江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟理）设点O 在ABC ∆的外部,且,则= ． 解析：由推论3，可知=||:||4x y z x ++=．5.（2011届江苏省南京师大附中高三学情调研）设点P 是ABC ∆内一点（不包括边界），且(,)AP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则22223m n m n +--+的取值范围是 .解析：由推论1及推论1'，可知,m n 满足001m n m n >⎧⎪>⎨⎪+<⎩，2222223(1)(1)1m n m n m n +--+=-+-+表示点（,m n ）到(1,1)的距离的平方，由线性规化知识可得所求的范围为1(,)2+∞．6．（自编题）已知点O 与四面体ABCD ，且0OA OB OC OD +--=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，则::______ABD BCD CAD S S S ∆∆∆=． 解析：由推论5，OD OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，可知::|1|:1:11:1:1ABD BCD CAD S S S ∆∆∆=-=． 7．（自编题）已知点O 与四面体ABCD ，且230OA OB OC OD +--=u u u r u u u u r u u u r u u u r r ，则::O ABD O BCD O CAD V S S ---= .解析：由推论6， 可知:::|1|:1:2:|3|1:1:2:3O ABD O BCD O CAD O ABC V S S S ----=--=. 8．（自编题）已知点P 是四面体ABCD 内一点（不包括边界），且(,,)AP x AB y AC z AD x y z R =++∈u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点,,x y z 满足22213x y z ++<的概率是 . 解析：因为点P 是四面体ABCD 内一点（不包括边界），由推论4，可知,,x y z 满足0,,11x y z x y z <<⎧⎨++<⎩，如图建立空间直角坐标系，0,,1{(,,)|}1x y z x y z x y z <<⎧⎨++<⎩表示正方体1111OABC O A B C -中三棱锥1O ACO -内部的区域，而2221{(,,)|}3x y z x y z ++<表示以点O的球体在正方体1111OABC O A B C -内部的区域，由几何概型知所求概率为1189O ACO V p V -==球O ．。