,
即
,
确
定
几,
,
使残量
丫
,
,
的 平 方和 为 极小
,
第 期
吴 新元
Δ
常 微 分 方 程 中待定 参 数 的 数 值 拟 合 间 题
#弓 !
Θ >
艺
4
≅> ,
习
Η
≅
≅Π >
? ΘΑ
6Ι :
, 为 了按 照 最 小 二 乘 准 则 确 定 出 未 知 参 数 孟 6卜
,
,
… Χ :
,
的 近 似值
,
,
我们 必须 先 建 立 超
,
息 取定
。
若拟 合 效 果 相 当差
:
,
。
,
例 如 拟 合 曲线 与实 测 曲 线 从 整 体 上 看 差距 太 大
∀
此 时 应 考虑 修正
微分 程 6
注Κ 大
,
,
。
即 应 考察所 提 出 的 微 分 方 程 6
,
: 本 身是 否 正 确
,
必 要 时 对 修 正 后 的 微 分方
方 程 重新 进 行 数值 拟 合
,
・
那 么 一 个直 观 而又 基 本 的 设 想 是 将 方 程 6 : 6或 6
‘
”
中 出现 的
。
未知 函 数 2 以 及 2 关 于 = 的 各 阶 微 商 分 别 用 它 们 的插 值公 式 及 其 数 值 微 分 公 式 代 替
及 这 里 要 求 插 值 函 数 及 其各 阶微 商 必 须 分 别 收 敛 到 梦 梦的 各阶 微 商
,
,
, > 与 孟 64
Θ
,
,
… 寿: 无 关
,
。
为书 写 简便
令
弓 ‘ 七 Μ 4
Υ
ϑ
6 ‘Β
4:
,
,
, ,
,
>
甲Τ
,
≅
6= 。 :
Λ 甲 ’、 : 」 二 = =
尸
6 ‘一 ’:
” 十
’二 ∗ 一
Φ 解0
‘
‘
雨初
一
6∀ :
,
,
Θ>
,
,
, , … 二 ≅二
,
,
…
,
Α
,
4>
… Χ
,
考虑 线 性 方 程 组
南 京 大 学 学 报
第
卷
第
期
∃% & ∋ ( ) ∗
% + ( ) ( ∃,( −
& ( ,. / ∋ 0 , 1 2
.
3
4
5
,
(
,
3
5
! ∀ #年 !
月
6( ) 1 & ∋ ) ,7 0 8 ,/ ( 8 / 0 / 9 ,1 ,% ( :
0;<
5
!∀ #
常微 分方程 中待定 参数的数值拟 合问题
Κ 号
例
5
数值例子
确定 常 微分 方 程 组
Φ 2
酬 即9
∗ ]
>
Φ矛
Ν
6几,
,
Δ 入
,
久
,
久7
,
大,
7
=, 2 :
, 二 中的 未 知 参 数 几 64
,
,
,
Κ, #:
。
其中
第
期
2
二
昊 新元
Δ
常 微 分 方 程 中待定 参数的数值 拟 合 问题
互 〔
,
!
,
万
〕
了
了
已 知 Κ 组数 据 如 下
Δ
>
Α … =
,
。
,
≅>
>
,
,
7 … 掩
然 后 建立 方程组
,
七
用程 调 子 那9旗
・
州 河朴
,
司 处 教值 两 的 微
林卢
、
Β
5
艺
夕一
ϑ 4
‘,
又,
Ι
‘,
求之
,
, … ?
”
。
Κ
“
用 算 法 ∗ 0 求 方程 组 6
0
# 可参 阅 〔 〕 给 出 计算 结 果
。 ,
Ω :
的 最小 二 乘 解
,
,
关于
算法 ∗
。
显然
,
但 一 般 的 插值 函 数不 一
定 满足 这 一 要 求
。
因此
,
为 了实 现 这 一 基 本 设 想
,
。
,
此 处 的 播值 函 数 宜于 采 用 样条 插 值 函 数
6 关 于 样 条 函 数 的结果 可 参 阅 〔 〕 〔 〕 :
我 们 用 梦的 样条 插值 , 数 了 。: 以 及 Ε 它导 出的 数 值 , 商
最 小 二 乘解
久4
Ε
,
输 出数 值 结果 如 下
Ω
5
Δ
澎
一
Ω!
,
久
,
Ε
澎
一
Κ! !
5
,
几
Ε
澎
几。
一
Κ! ! !
5
只
Κ 串
灯Σ
>
5
Σ∀
,
, 又
Ε
澎
上
一
Ω
Κ! !
5
5
∀#
,
。
诸
的精确值 为
久
一
Ω
5
,
几Δ
一
久
‘
一
#Ω
5
Ω
,
几,
二
ΣΩ
5
Ω
,
几,
二 一
Ω
。
县#
注
“
5
注
释
Ε
在 处 理 实际 问 题 时
,
。
,
应 该 将 由本算 法求 出 的拟 合 值 久,
Φ
“
,
久Δ
,
Ε … 只
,
的
Φ召
Φ
产
阶微 分 方 程 6 组 :
Η
:
2
=召
二
Φ
升
Ε
,
Ε
,
…
,
Ε,
7
‘
,
犷
,
一
丫
沂
,
…
,
一
召
一
,
= 召一 ,
6
6 或 + 6孟
,
人Δ
,
, Ε … 孟
,
才,
2
Φ Η
”
‘
Φ
”
2
、
一
产 刁
: 二
叭
6
‘
::
其中
∀ 工 一 #
一
!
子 」 夕
5
护 夕
户
了 1
无三
。‘ ,
。
全∃
,
产全 ∃ ,
昊 新 元
摘
要
,
本 文 提 出 常 微 分 方 程 中持 定 参 数 的 数 值 拟 合 方 法 并 给 出 以 本 方 法 解 决 的 何 子
。
数 值 结 果表 明
,
这是 一 种 行 之有效 的 算 法
5
。
号
问 题 的数 学 描 述
假 设 通 过 某种 实验 观 测 方 法 获 得 了 。 组 数据
第
卷
。:
的最 小 二 乘解
。
,
也 就 是 线性数值 拟 合 问 题 的 最小 二 乘解 6关 于 最
小 二 乘 法 的 结 果 可 参 阅〔 〕:
级
5
7
5
算 法 与 框 图
,
算法
∗ 0
设 9 0 为 求 各阶 数 值 微 商 的 一 种 算 法 法
,
。
为 求 超 定 方 程 组 〔 Ω 的 最 小 二 乘 解 的 一 种算 :
起 程 建立 定方 纽 门的
#
“
即 几, 6 4 >
。
4
,
… 壳: 的 拟 合 值 及
,
有关 解 的 其它 信 息
3 Ι
。
拟 合结束
5
,
分 析 结果
调用 # 程 术6 Ω :的 序
∴ ,
计 算棍 图
Β
、二
乘解天
在 电子 计 算 机 七 行 数值 拟 合 的 框 图 如 左 Δ 进
5
输蛾 值结果 一 又及 大 关 的 之媳 有解共 下
,
Κ 〔 〕 刘 德 贵等编
算法 汇编第 一 册
_
ϑ Α [3 Α
国 防 科 学 出版 社
,
6 !∀。:
6
!Σ续:
匕# ∴
∗
5
∗
ϑ
布 [3 Α
∋
5
∃
5
著
解 最小 二 乘 问 题
1 _ / ( & ⎯ / ∋ ,8 ) ∗ + , 1 5 (− α∋ %β ∗ / ⎯ % + α) ∋ )⎯ / 1 / ∋ 0 1 % 1
第
卷
参
仁 〕 孙 家超 著 厂 〕 李岳 生 〔 ∴
, ,
考
,
文
献
,
样条 函 数 与 计 算 几 何