第十九章思考与练习1．主应力法的基本原理和求解要点是什么？答：主应力法（又成初等解析法）从塑性变形体的应力边界条件出发，建立简化的平衡方程和屈服条件，并联立求解，得出边界上的正应力和变形的力能参数，但不考虑变形体内的应变状态。

其基本要点如下：⑴把变形体的应力和应变状态简化成平面问题（包括平面应变状态和平面应力状态）或轴对称问题，以便利用比较简单的塑性条件，即13s σσβσ-=。

对于形状复杂的变形体，可以把它划分为若干形状简单的变形单元，并近似地认为这些单元的应力应变状态属于平面问题或轴对称问题。

⑵根据金属流动的方向，沿变形体整个（或部分）截面（一般为纵截面）切取包含接触面在内的基元体，且设作用于该基元体上的正应力都是均布的主应力，这样，在研究基元体的力的平衡条件时，获得简化的常微分方程以代替精确的偏微分方程。

接触面上的摩擦力可用库仑摩擦条件或常摩擦条件等表示。

⑶在对基元体列塑性条件时，假定接触面上的正应力为主应力，即忽略摩擦力对塑性条件的影响，从而使塑性条件大大简化。

即有x y Y x y σσβσσ-=（当＞）⑷将经过简化的平衡微分方程和塑性条件联立求解，并利用边界条件确定积分常数，求得接触面上的应力分布，进而求得变形力。

由于经过简化的平衡方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，故而得名“主应力法”。

2．一20钢圆柱毛坯，原始尺寸为mm 50mm 50⨯φ，在室温下镦粗至高度h =25mm ，设接触表面摩擦切应力Y 2.0=τ。

已知MPa 74620.0ε=Y ，试求所需的变形力P 和单位流动压力p 。

解：根据主应力法应用中轴对称镦粗得变形力算得的公式)61(h d m Y p += 而本题Y 2.0＝τ与例题2,Y k mk =＝τ相比较得：m=0.4,因为该圆柱被压缩至h=25mm根据体积不变定理，可得225=e r ， d=502 ,h=25又因为Y ＝746)15221(2.0+ε 3．在平砧上镦粗长矩形截面的钢坯，其宽度为a 、高度为h ，长度l a ，若接触面上的摩擦条件符合库仑摩擦定律，试用主应力法推导单位流动压力p 的表达式。

解：本题与例1平面应变镦粗的变形力相似，但又有其不同点，不同之处在于y u στ＝这个摩擦条件，故在dx h u d yy σσ2-=中是一个一阶微分方程，y σ算得的结果不一样，后面的答案也不 一样，4．一圆柱体，侧面作用有均布压应力0σ，试用主应力法求镦粗力P 和单位流动压力p (见图19-36)。

解：该题与轴对称镦粗变形力例题相似，但边界条件不一样，当e r r = ,0σσ=re而不是0=re σ，故在例题中，求常数c 不一样：022στ++=k x hc e 02)(2στσ++--=∴k x x h e y 图19-36⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⇒e x e k h x x l F 002)(22στ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒022στk h x lx F e e 022στ++==⇒k hx lx F p e e 5．什么是滑移线?什么是滑移线场?答：滑移线：金属由晶体组成，其塑性变形主要是通过内部原子滑移的方式而实现，滑移痕迹可以在变形后的金属表面上观察到，我们将塑性变形金属表面所呈现的由滑移而形成的条纹称为滑移线。

滑移线场：经研究证明，滑移线就是塑性变形体内最大切应力的轨迹线，因为最大切应力成对出现，相互正交，因此，滑移线在变形体内呈两族相互正交的网络，即所谓的滑移线场。

6．什么是滑移线的方向角?其正、负号如何确定?答：α线的切线方向与ox 轴的夹角以ω表示（见图19-8），并规定ox 轴的正向为ω角的量度起始线，逆时针旋转形成的ω角为正，顺时针旋转形成的ω角为负。

7．判断滑移线族性的规则是什么?答：规则为：（1）当α、β族线构成右手坐标系时，代数值最大的主应力1σ的作用方向位于第一与第三象限；（2）滑移线两侧的最大切应力组成顺时针方向的为α线，组成逆时针方向的为β线；（3）当已知主应力1σ和3σ的方向时，将它们沿顺时针方向旋转45角，即得α、β族线。

8．写出汉基应力方程式。

该方程有何意义?它说明了滑移线场的哪些重要特性?答：平面应变状态下的应力分量完全有σm 和K 来表示。

而K 为材料常数，故而只要能找到沿滑移线上的σm 的变化规律。

则可求得整个变形体的应力分布，这就是应用滑移线法求解平面问题的实质。

汉基从应力平衡条件出发。

推导出描述沿滑移线上各点的平均应力的变化规律的汉基应力方程：m m 2 () 2 () K K σωξβασωηαβ-=-=（沿线）（沿线）该方程说明了滑移线的如下特性：滑移线的沿线特性：当沿α族（或β族）中的同一条滑移线移动时，ξ（或η）为常数，只有当一条滑移线转到另一条滑移线时，ξ（或η）值才改变。

在任一族中的任意一条滑移线上任取两点a 、b ，则可推导出滑移线的沿线特性，即ma mb ab 2K σσω-=±可以得出如下结论：（1）若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点的平均应力，则可确定该滑移线场中各点的应力状态。

（2）若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同。

（3）如果在滑移线场的某一区域内，两族滑移线皆为直线，则此区域内各点的应力状态相同，称为均匀应力场。

汉基第一定理（跨线特性）及其推论：同一族的一条滑移线转到另一条滑移线时，则沿另一族的任一条滑移线方向角的变化及平均应力的变化⊿ω和⊿σm 均为常数。

1,12,11,22,2m m1,1m2,1m1,2m2,2ωωωωωσσσσσ∆=-=-==∆=-=-==……常数……常数从汉基第一定理可得出如下推论：若一族的一条滑移线的某一区段为直线段，则被另一族滑移线所截得的该族滑移线的所有相应线段皆为直线9．滑移线场有哪些典型的应力边界条件(画图说明)?答：①不受力的自由表面②无摩擦的接触表面③摩擦切应力达到最大值K 的接触面④摩擦切应力为某一中间值的接触表面 此时，接触面上的摩擦切应力为0<xy τ<K 。

10．什么是速度间断?为什么说只有切向速度间断，而法向速度必须连续?答：在刚塑性变形体内存在的速度不连续的情形，就形成了速度间断。

由于变形体被速度间断面D S 分成两个区域，根据塑性变形体积不变条件可知，垂直于微段D dS 上的速度必须相等，否则材料将发生重叠或拉开。

而且向速度分量可以不等，造成两个区域的相对滑动，所以只有切向速度间断，而法向速度必须连续。

11．试绘图表示宽度为80mm 的平顶压头压入半无限高坯料使之产生塑性变形时，表层下10mm 深处的静水压力(平均应力)的分布。

12．已知某物体在高温下产生平面塑性变形，且为理想刚塑性体，其滑移线场如图19-37所示α族是直线族，β族为一族同心圆，C 点的平均应力为MPa 90-=mc σ，最大切应力为K =60MPa 。

试确定C 、B 、D 三点的应力状态。

并画出D 点的应力莫尔圆。

解：在901-=mc σα线上：MPa 4π-=c w因为B,C 同在1α线上，由 ()()⎩⎨⎧=-=-4122βξσβξσb mb c mc kw kw 90-==⇒mc mb σσ MPa 在线上：4β()()⎩⎨⎧=+=+2122αησαησd mdb mb kw kw ()πσσ32k w w k b d md mb =-=-∴ MPa k mb md 83.1543-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πσσ MPa me 83.154-=σ13．试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷P (图19-38)。

设冲头宽度为2b ，长为l ，且l 2b 。

解：本题与平冲头压入半无限体例题相似，我 认为我 做的滑移线原来滑移线一样，交点也在原来那儿只不过 F 点0=y σ， γπ+=4F w不一样而已，点E 有y x σσ,的作用，均匀压应力，且p y -=σ其 绝对值大于,x σ K P mE +-=σ,4γπ+=F W 4π-=E W422πσσK KW mE F mF -=-4242πγπk k p K K ++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- ()r k p 22++=⇒π()γπ2222++=⨯==⇒blk bl P PS F14．图5-39所示的楔体，两面受压力p ，已知432πγ=，试用滑移线法求极限载荷。

15．图5-40所示的楔体，两侧压力为p , 顶部压力为q ，求当（1）p =q 及(2)p >q 时的极限载荷值。

16．图19-41表示用平底模正挤压板图19-37 图19-38图19-39 图19-40料，挤压前坯料厚度为H ，挤出后板料厚度为h ，挤压比2=hH 。

板料宽度为B ，且B H ，即可视为平面应变。

设挤压筒(凹模)内壁光滑，即0=μ，其滑移线场如图19-41所示。

试用滑移线法求单位挤压力，并画出速端图。

解：由于对称性故在轴线ox 上的剪应力为零且有0,0〈=y x σσ 因此点0处可得01==x σσk y 23-==σσ故k mo -=σ由此确定α线，β线如图所示，显然π43=o w 4π=b w ⇒沿α线有()ππσσ+-=-=1k k mc mb由于∆是均匀应力区故mB mA σσ=在A 点 处由β线逆时针可得()πσσ+-=-=2K K mA nA()⎪⎭⎫ ⎝⎛+==212πσk h h P nA 17．什么是真实速度场（或位移场）？什么是动可容速度场（或位移场）？18．试写出上限定理的数学表达式，并说明表达式中各项的意义。

答：数学表达式为[]⎰⎰∑⎰⎰*****-+≤*T D u S T i i V S D ij ij S u i i dS du T dS u K dV d dS du T εσ' ①简写为 ⎰⎰⎰***=≤u u u S u i i S u i i S u i i dS du T dS du T dS du T ②，①中第一至三项分别为虚拟连续位移为增量场*i du 所作的功增量、虚拟速度间断面*D S 上所消耗的剪切功增量及T S 上真实表面力i T 在*i du 所作的功增量，19．用上限法求解平面变形问题采用什么简化变形模式？求解步骤如何？所得的上限解是唯一的吗？20．试证明刚塑性体变形功率⎰⎰⎰===V ij ij s V V s ij ij d V V V W d 32d d εεσεσεσ 21．在平底模中进行平面变形挤压，若模具光滑无摩擦，按图19-42所示的分块模式确定平均单位挤压力的上限解。

并与滑移线解作比较，说明何种模式的上限解最优？图19-42。