2. R.S. Rivlin, “The Elasticity of Rubber,” Rubber Chemistry and Technology, 65, pp. G51-G66, 1992.
3. O.H. Yeoh, “Phenomenological Theory of Rubber Elasticity,” Comprehensive Polymer Science, ed. G. Allen, Elsevier, Oxford, 1996, Chapter 12.
– di 反比于体积模量. 默认地, 如曲线拟合(下一部分)中没引入体积试验数据, 则材料
假定为完全不可压缩的 (di=0).
N
iai
o

i 1
2
o

2 d1
... 体积容差
• 体积协调约束中的容差(vtol)可通过 Command Objects放松.
为接受后续的solc,,,vtol手动激活 Mixed u-P 是必要的
参考文献
一些关于橡胶机理的参考文献:
1. R.S. Rivlin, “Large Elastic Deformations,” Rheology: Theory & Applications - Vol. 1, ed. F.R. Eirich, Academic Press, Inc., New York, 1956, Chapter 10.
• 高弹体是一种聚合物, 具有如下性能
– 高弹体包括天然和合成橡胶, 它是非晶态的, 由 长的分子链组成
• 分子链高度扭转、卷曲, 且在未变形状态下取向任 意
• 在拉伸载荷作用下, 这些分子链部分变得平直、不 扭曲
• 去除载荷后， 这些分子链恢复最初的形态
– 橡胶强化通过橡胶硫化过程中分子链间形成交联 来实现(例如，可能的链结构数量减少).
.
... W的特殊形式
• 根据所选择的应变能函数W, 材料常数数目不同. • 选择依赖于:
• 高弹体类型 • 加载条件 (% Strain) • 可利用的材料试验数据.
• 总体而言，应变能密度函数是最接近应力应变实验数据曲线的函数。
– 在大多多挑战性的应用里，往往只有一个函数是合适的。 – 通常两个或更多函数产生同样的响应。
... 多项式
• 多项式形式 基于第一和第二应变不变量，它是如下形式的现象学模型
W
N
cij
i j 1
i
I1 3
I2 3
j
N

1
d k 1 k
J 1 2k
• 其中初始体积模量和初始剪切模量是
o 2c10 c01
o

2 d1
• cij 和 di 通常定义为材料性质.
… 曲线拟合
• 典型的实验数据来自于以下6种实验的一种或多种:
– 单轴拉伸 – 单轴压缩 – 双轴拉伸(圆形或矩形试样) – 平面剪切 – 简单剪切 – 体积试验(钮型试样)
• 收集的试验数据是工程应力/应变。工程应力/应变用于曲线拟合(已知延伸率 l=1+eE ).
– 体积实验数据需要真实的应力，是个例外 – 这不同于塑性曲线拟合, 塑性曲线拟合中收集的数据需转换为真应力/应变.
– 它们的应力-应变关系是高度非线性的 – 通常, 拉伸状态下, 材料先软化再硬化，而压缩时材料急剧硬化.
F
Tension
u
Compression
B.超弹性背景
• ANSYS中关于超弹性本构模型有一些关键假设
– 材料响应是各向同性、等温和弹性的 • 热膨胀是各向同性 • 变形完全可恢复(保守的)
– 材料是完全或几乎不可压缩的 – 更复杂的真实橡胶行为理想化
化)
... 混合u-P 公式
• ‘Mixed u-P’公式满足体积协调约束. Mixed u-P 代码在位移自由度(u)外自 动添加一内部静水压力自由度(P) 来强迫体积协调条件. 因此, 名为 Mixed u-P.
• 从前面幻灯片中知, 对完全不可压缩材料体积比 J 应为常数 (J=1), :
J 1 0
… 曲线拟合
• 下面列出了要求实验数据的类型
Material Behavior Fully incompressible
Nearly Incompressible
Experimental Type Column 1
Column 2
Uniaxial Test
Engineering Strain Engineering Stress
• 在热膨胀情况下, 热体积变形为
Jth 1 eth 3
• 弹性体积变形与总的体积变形和热体积变形的关系如下:
J el

J

J total Jth
... 应变势能的定义
• 应变势能 (或应变能函数)通常表示为W
– 应变势能或者是主延伸率的直接函数，或者是应变不变量的函数
W W I1, I2, I3
• 超弹性本构模型通过应变能密度函数来定义
– 与塑性不同, 超弹性不定义为速率公式 – 相反, 总应力与总应变的关系由应变势能 (W)来定义
σ D: ε
... 延伸率定义
为理解应变能密度函数的形式，一些定义是必要的:
• 延伸率(或只是‘延伸’) 定义为
l

L Lo

Lo u Lo
1eE
Biaxial Test
Engineering Strain Engineering Stress
Shear Test
Engineering Strain Engineering Stress
Uniaxial Test
Engineering Strain Engineering Stress
Biaxial Test
若材料是完全不可压缩的, 则I3 = 1.
• 由于假设材料为各向同性，应变势能的一些形式可以表示为这些标量不变量的函数。 换句话说, 应变不变量是应变的度量，与用于度量应变时使用的坐标系无关。
... 体积比定义
• 体积比J定义为
J

l1l2l3

V Vo
如上所示, J 看作是材料变形后体积与未变形体积的比.
– 式中初始体积和剪切模量被定义为
N
iai
o i1 2
o

2 d1
i, ai,和 di是用户定义的材料属性.
– 如果未知，可以从试验数据经曲线拟合推导而来.
... 模型分类
• 其他模型 (Mooney-Rivlin, Yeoh 和 Neo-Hookean) 都是多项式模 型的缩减形式。
化 (t/to)，另外, 若材料假设为完全不可压缩, 则 l3 等于l-2.
l2 l L Lo
l1

l

L Lo
l3

t to

Lo Lo LL
l2
... 应变不变量定义
• 三个应变不变量一般用于定义应变能密度函数.
I1 l12 l22 l32 I2 l12l22 l22l32 l32l12 I3 l12l22l32
... 混合u-P 公式
• 超弹性体的体积比 (J) 定义为:
V J
Vo
– 其中 V和Vo 分别是单元的更新的和初始体积.
• 为保持不可压缩行为, 必须满足体积协调性约束.
– 完全-不可压缩超弹性材料, 不会发生体积改变. – 使用 J, 可确定体积变化数 – 完全-不可压缩状况, J 应等于 1. 换句话说, 最终和初始体积是相同的 (无体积变
Polynomial
第一和第二应变不变量现象模型
Mooney-Rivlin
第一和第二应变不变量线性模型
Yeoh
第一应变不变量现象模型
2-term M-R
第一第二应变不变量现象模型
3-term Yeoh
第一应变不变量现象模型
Neo-Hookean
第一应变不变量现象模型
基于应变不变量的近似/完全不可压缩现象超弹性模型.
Engineering Strain Engineering Stress
Shear Test
Engineering Strain Engineering Stress
Volumetric Test Volumetric Strain True Stress
• 这导致下面的体积协调方程:
V
J 1 dV J
Vtol
V
... 混合 u-P 公式
• 当不满足条件的时候，求解信息会记录.
– Vtol 默认值为1e-5.
• 如由于Mixed u-P 不能满足体积协调条件而导致收敛失败, 通过定义 ‘di’ 参 数的一个小的非零值引入一不可压缩小量是有帮助的.
– 如果未知，这些值可以通过从试验数据用曲线拟合的方法得到（下节讨论）.gden 形式, 另一种现象学模型, 它直接基于主延伸率, 而不是应变
不变量:
W

N i a i1 i
lai 1

lai 2

lai 3
3
N

1
d i1 i
J 1 2i
4. L.R.G. Treloar, The Physics of Rubber Elasticity (2nd edition), Oxford University Press, 1958 (3rd edition is ~1975)
C. 曲线拟合
• Mechanical提供了曲线拟合工具，帮助把实验数据转化成各种超弹模 型能使用的应变能量密度函数系数.
Example of Rubber boot, o-rings/seals