5
二、超静定次数
从几何构造看
超静定次数 = 多余约束的个数
从静力分析看
超静定次数 = 多余约束力的个数
= 未知力个数 – 平衡方程的个数
2次超静定
6
4次超静定
3次超静定
6次超静定
7
判断超静定次数时，应注意: （1）撤去一根支杆或切断一根链杆，等于拆掉一个约束。 （2）撤去一铰支座或撤去一个单铰，等于拆掉两个约束。 （3）撤去一固定端或切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。 （4）在连续杆中加入一个单铰，等于拆掉一个约束。 不要把原结构拆成一个几何可变体系。即不能去掉必要约束 要把全部多余约束都拆除
FN P 图（kN）
33
（4）解方程
X 1 12.1kN
（5）作FN图
FN FN1 X1 FNP
34
例6-4 求图示超静定组合结构的内力图。 AD杆：EI=1.40×104kN.m2； 解 （1）选取基本体系 EA=1.99×106kN； AC、CD杆：EA=2.56×105kN； BC杆：EA=2.02×105kN
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
19
力法的基本体系不是唯一的
√
√
×
!! 瞬变体系不能 作为力法的基本 体系
20
力法基本方程？
21
n 次超静定结构的力法典型方程：
11 X 1 12 X 2 21 X 1 22 X 2 n1 X 1 n 2 X 2
2
§6-1 超静定结构和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构与静定结构的区别：
几何特征: 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 静定结构是无多余约束的几何不变体系 静力特征: 仅由静力平衡条件无法全部求解超静定结构 的内力和反力 静定结构的内力和反力可以全部求解 超静定结构的内力计算—— 不能单从静力平衡条件求出，而必须同时考虑 变形协调条件
1P M1 M P ds EI
11
q
A
1 1 ql 2 3 ql 4 l l EI 3 2 8 EI 4
1P
B
B
2 M1 11 ds EI
11
A
X1 1
13
3 X1 ql 8
1 l2 2 l3 l EI 2 3 3EI
Strucural Analysis
4
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§ 6-1 超静定结构的概念
“力法”的发展
法国的纳维于1826年提出了求解超静定结构问题的一般方法（基本方
程）。 19世纪30年代，由于桥梁跨度的增长，出现了金属桁架结构。从 1847 年开始的数十年间，学者们应用图解法、解析法等研究静定桁架的受 力，这奠定了桁架理论的基础。1864年英国的麦克斯韦创立了单位荷 载法和位移互等定理，并用单位荷载法求出桁架的位移，由此学者们 终于得到了求解超静定问题的方法——力法。 土木工程专业的力学可分为两大类，即“结构力学类”和“弹性力学 类”。 “结构力学类”包括理论力学、材料力学和结构力学，其分析方法具有 强烈的工程特征，简化模型是有骨架的体系（质点、杆件或杆系）， 其力法基本未知量一般是“力”，方程形式一般是线性方程。 “弹性力学类”包括弹塑性力学和岩土力学，其思维方式类似于高等数 学体系的建构，由微单元体（高等数学中的微分体）入手分析，简化 模型通常是无骨架的连续介质，其力法基本未知量一般是“应力”， 方程形式通常是微分方程。
11X1+ 12X2 +1P=0 21X1+ 22X2+ 2P=0
28
（3）计算系数和自由项
M 1 图(m)
M 2 图(m)
M P图(kNm)
29
2 M2 M12 22 ds 50.9 11 ds 73.4 EI EI M1 M2 12 21 ds 20 EI M1 MP M2 MP 1P ds 303 2 P ds 49.5 EI EI
38
§6-5 力法解对称结构
25
80 X1 = kN 9
EA
排 架
26
例： 试作图示结构的弯矩图。 E为常数
C
20kN/m
D
I
2I
A
I
2I
l
4m B
224 1640 11＝ 1P 3EI EI 1P X 1＝ 22.0(kN) 11
27
6m
例6-2 试求在所示吊车荷载下的内力。已知IS1=10.1104cm4 ， IX1=28.6104cm4，IS2=16.1104cm4 ，IX2=81.8104cm4，MH= FPH e =43.2kN.m ，M E= FPE e =17.6kN.m 。 解 （1）选取基本体系 （2）列出力法方程
选择不同的多余约束力作为基本未知量， 力法的基本体系？
力法的基本方程？
变形协调条件的物理意义？
16
例1：力法作出图示结构的弯矩图，各杆EI=常数。
q
A
C
B
l
l
17
例2：力法作出图示结构的弯矩图，各杆EI=常数。
A
C
q
l
B
l
18
4. 多次超静定结构的计算
基本体系B点的水平 位移和竖向位移等 于零，即
（4）求多余约束力
（5）作M图
X 1 4.33kN X 2 0.73 kN
M M1 X 1 M 2 X 2 M P
30
§6-4 力法解超静定桁架和组合结构
4. 解方程
1 1 3 2 2 ( 2 2 2 ) a X Pa 0 常数。 例：作出图示桁架结构的内力图。 EA= 1 EA EA 2 F
2
FP P 0.854P 5 2 2 4 5 4 a 1 4 1 3 3 5. 作内力图 F F X F X1 N N1 1 NP 6 6 0.396P a
X1
3 2 2
2
P
FP
FP
2 FP
FP
FP
0.5 2
1. 基本未知量 2. 力法的基本方程
-0.604P
0.396P
11 X 1 1P 0

MA FxA
A
q
B
1P 11 X1 0
X1
M1 M P 1P ds M M1 X 1EI MP
F yA
1 2 ql 8
M
5 ql 8
1 2 ql 16
FQ FQ1 X2 1 FQP M1 11 ds EI
3 ql 8
14
1 1 ql 2 3 ql 4 l l EI 3 2 8 EI 4
1
0.5 2
1
X1 1
0.5 2
3. 系数与自由项的计算 0.396P
N12l 1 1 2 11 N1 l 22 2 a EA EA EA N1 N Pl 1 1 Pa 1P N N l 3 2 2 1 P EA 2 EA EA 31
ii 0
1n X n 1P 0 2 n X n 2 P 0 nn X n n P 0
ij —— 柔度系数，j方向的单位力引起的i方向的位移
ij ji
Mn Xn MP
22
i P —— 自由项， 荷载引起的i方向的位移。
1 0
11
q
A B
1 0
1 1P 11 0 1P 11 X1 0
力法的基本方程
X1
q
A
1P
11 11 X1
B
B
11
A B
A
X1
12
X1 1
1P
：荷载单独作用下沿X1方 向的位移
：单位力X1=1作用下沿X1 方向的位移
1P 11 X1 0
8
§6-2 力法的基本概念
1. 基本思路
MA FxA
A
q
B
MA FxA
1
q
A B
F yA
F XyB
F yA
力法的基本未知量
9
1. 基本思路
q
A B
X1
力法的基本体系
10
1. 基本思路
过大
q
A B A
q
B
过小
X1
X 1 F yB
F yB
基本体系转化为原来超静定结构的条件是： 基本体系沿多余未知力X1方向的位移与原结构相同
3
§ 6-1 超静定结构的概念
超静定结构的求解方法
总体思想：同时考虑“变形、本构、平衡”。
平衡方程——力（或应力）的表达式 基本方程 本构（物理）方程——力与位移（或应力与应变）关系 几何方程——位移（或应变）的表达式
基本方程中的未知量既有力（或应力）也有位移（或应变），选择不
同类型的物理量作为基本未知量对应产生了三种不同的求解方法。 以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上，将本构写成用 力表示位移的形式，代入几何方程求解，这时最终方程是以力的形式 表示的几何方程，这种分析方法称为力法。 以位移作为基本未知量，在自动满足几何方程的基础上，将本构写成 用位移表示力的形式，代入平衡方程，当然这时最终方程是用位移表 示的平衡方程，这种分析方法称为位移法。 如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑 位移约束和变形协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案 称为混合法。