第二章 等比数列性质典型题（最全整理）含解析2.4 第1课时基础巩固一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＝4，a 2＝8，则公比等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8[答案] B[解析] ∵a 1＝4，a 2＝8，∴公比q ＝a 2a 1＝2.2．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] B[解析] 98·(23)n －1＝13，∴(23)n －1＝827＝(23)3∴n ＝4.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 [答案] A[解析] ∵{a n }是等比数列，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6， ∴设等比数列的公比为q ，则a 2＋a 3＝(a 1＋a 2)q ＝3q ＝6，∴q ＝2. ∴a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3a 1＝3，∴a 1＝1， ∴a 7＝a 1q 6＝26＝64.4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．12B ．22 C ． 2 D ．2[答案] B[解析] 设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2， 因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝a 2q ＝12＝22，故选B ．5．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝±3，ac ＝9[答案] B[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－b b 2＝ac ＝9c 2＝－9b，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥0a ≠0，∴a 2>0，∴b <0，∴b ＝－3，故选B ．6．已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，a n >0，m ＝a 5＋a 6，k ＝a 4＋a 7，则m 与k 的大小关系是( )A ．m >kB ．m ＝kC ．m <kD ．m 与k 的大小随q 的值而变化 [答案] C[解析] m －k ＝(a 5＋a 6)－(a 4＋a 7) ＝(a 5－a 4)－(a 7－a 6)＝a 4(q －1)－a 6(q －1)＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)． 二、填空题7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝__________. [答案] 3·2n －3[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝3a 10＝384，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3a 1q 9＝384∴q 7＝128，∴q ＝2，∴a 1＝34，∴a n ＝a 1q n －1＝3·2n －3.8．已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是________．[答案] －1256[解析] ∵a 1＝12，a 2＝a 1q ＝12q ＝－14，∴q ＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝12×(－12)7＝－1256.三、解答题9．若a,2a ＋2,3a ＋3成等比数列，求实数a 的值． [解析] ∵a,2a ＋2,3a ＋3成等比数列， ∴(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)， 解得a ＝－1或a ＝－4.当a ＝－1时，2a ＋2,3a ＋3均为0，故应舍去． 当a ＝－4时满足题意，∴a ＝－4.10．已知：数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．求证：数列{a n ＋1}是等比数列．[证明] 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)． 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4.两式相减 得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， ∴a 2＋a 1＝2a 1＋6.又∵a 1＝5，∴a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *. 又∵a 1＝5，a 1＋1≠0.从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列.能力提升一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A ．1－52B ．5＋12C ．5－12D ．5＋12或5－12[答案] C[解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1， ∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12. ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4(a 3＋a 4)q ＝1q＝5－12.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )A ． 2B ．4C ．2D ．12[答案] C[解析] ∵a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }中的连续三项， ∴a 23＝a 1·a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， ∴公比q ＝a 3a 1＝4d2d＝2，故选C ．3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81[答案] B[解析] 设公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝1a 1q 2＋a 1q 3＝9， ∴q 2＝9，∵a n >0，∴q ＝3. ∴a 1＝14，∴a 4＝a 1q 3＝274，a 5＝a 1q 4＝814，∴a 4＋a 5＝274＋814＝1084＝27.4．若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x ( ) A ．依次成等差数列 B ．依次成等比数列C ．各项的倒数依次成等差数列D ．各项的倒数依次成等比数列 [答案] C [解析]1log a x ＋1log c x＝log x a ＋log x c ＝log x (ac )＝log x b 2 ＝2log x b ＝2log b x∴1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列．二、填空题5．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．[答案] 648[解析] 设公比为q ，则8q 6＝5 832，∴q 6＝729， ∴q 2＝9，∴a 5＝8q 4＝648.6．在等比数列{a n }中，a n >0，且a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则数列的公比q ＝________. [答案]1＋52[解析] ∵a n ＋2＝a n ＋a n ＋1， ∴q 2a n ＝a n ＋qa n . ∵a n >0，∴q 2－q －1＝0，q >0，解得q ＝1＋52，或q ＝1－52(舍去)．三、解答题7．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3、a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .[解析] (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32， 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n .8．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827，证明{a n }是等比数列，并求出通项公式．[证明] ∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，故数列{a n }是公比q ＝23的等比数列． 又a 2·a 5＝827，则a 1q ·a 1q 4＝827，即a 21·(23)5＝(23)3. 由于数列各项均为负数， 则a 1＝－32.∴a n ＝－32×(23)n －1＝－(23)n －2.2.4 第2课时基础巩固一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5＝( ) A ．27 B ．27或－27 C ．81 D ．81或－81[答案] B[解析] ∵q 2＝a 3＋a 4a 2＋a 1＝9，∴q ＝±3，因此a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27或－27.故选B ． 2．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列 [答案] A [解析] 设b n ＝a 2n ，则b n ＋1b n ＝a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n)2＝q 2，∴{b n }成等比数列；2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ≠常数；当a n <0时lg a n 无意义；设c n ＝na n ， 则c n ＋1c n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＝(n ＋1)qn≠常数． 3．在等比数列{a n }中，a 5a 7＝6，a 2＋a 10＝5.则a 18a 10等于( )A ．－23或－32B ．23C ．32D ．23或32[答案] D[解析] a 2a 10＝a 5a 7＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 10＝6a 2＋a 10＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2a 10＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3a 10＝2. ∴a 18a 10＝a 10a 2＝32或23.故选D ． 4．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋ca 2＝bc 消去a 得：4b 2－5bc ＋c 2＝0，∵b ≠c ，∴c ＝4b ，∴a ＝－2b ，代入a ＋3b ＋c ＝10中得b ＝2，∴a ＝－4.5．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215[答案] B[解析] 设A ＝a 1a 4a 7…a 28，B ＝a 2a 5a 8…a 29， C ＝a 3a 6a 9…a 30，则A 、B 、C 成等比数列， 公比为q 10＝210，由条件得A ·B ·C ＝230，∴B ＝210， ∴C ＝B ·210＝220.6．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项[答案] B[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4. 两式相乘得，a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2. 又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝a n 1qn (n －1)2＝64， 即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642.所以n ＝12.二、填空题7．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值为________．[答案] 52[解析] 解法一：∵a 1＋a 2＝1＋4＝5， b 22＝1×4＝4，且b 2与1,4同号， ∴b 2＝2.∴a 1＋a 2b 2＝52. 解法二：设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， ∵1＋3d ＝4，∴d ＝1，∴a 1＝2，a 2＝3. ∵q 4＝4.∴q 2＝2.∴b 2＝q 2＝2. ∴a 1＋a 2b 2＝2＋32＝52. 8．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.[答案] 16[解析] ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27 ＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 三、解答题9．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．[解析] 由题意设此四个数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－82bq ＝a ＋bab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10b ＝－2q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8b ＝－2q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.10．已知数列{a n }为等比数列， (1)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q ；(2)若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求项数n .[解析] (1)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，故q ＝±2. (2)由a 3＋a 6＝(a 2＋a 5)·q ，得9＝18q ，故q ＝12.又∵a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，解得a 1＝32.再由a n ＝a 1q n －1，得1＝32×(12)n －1，解得n ＝6.能力提升一、选择题1．设等比数列的前三项依次为3，33，63，则它的第四项是( )A ．1B ．83C ．93D ．1215[答案] A[解析] a 4＝a 3q ＝a 3·a 2a 1＝63×333＝316×313312＝1.2．已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( ) A ．成等差数列不成等比数列 B ．成等比数列不成等差数列 C ．成等差数列又成等比数列 D ．既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A[解析] 解法一：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 2 3＋1， c ＝log 2 12＝log 2 3＋2. ∴b －a ＝c －B ．解法二：∵2a ·2c ＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ，∴选A ．3．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，则a 12等于( )A ．32B ．34C ．66D ．64[答案] C[解析] 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C ．4．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn的值是( )A ．4B ．2C ．12D ．14[答案] D[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x 2－5x ＋m ＝0的根则m ＝4，另一根为4，设x 3，x 4是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，则x 3＋x 4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x 3、4、x 4，公比为2、x 3＝2、x 4＝8、n ＝16、m n ＝14；若1是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，另一根为9，则n ＝9，设x 2－5x ＋m ＝0之两根为x 1、x 2则x 1＋x 2＝5，无论什么顺序均不合题意．二、填空题5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．[答案] 3或27[解析] 设此三数为3、a 、b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b (a －6)2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15b ＝27. ∴这个未知数为3或27.6．a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则三数为__________．[答案] 4,12,36[解析] ∵a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，∴b ＝3a ，c ＝9a ，又a ，b ＋8，c 成等差数列，∴2b ＋16＝a ＋c ，即6a ＋16＝a ＋9a ，∴a ＝4，∴三数为4,12,36.三、解答题7．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.[解析] 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6D ．由a 3，a 6，a 10成等比数列得，a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0，或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，因此，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 8．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．[解析] (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1.经验证，n ＝1时，上式也成立，∴a n＝2kn－k＋1.(2)∵a m，a2m，a4m成等比数列，∴a22m＝a m·a4m，即(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，整理得mk(k－1)＝0.∵对任意的m∈N*成立，∴k＝0或k＝1.。