数列专项之求和-4
(一)等差等比数列前n 项求和
1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
n 项求和
② 数列{}n a 为等差数列,数列{}n b 为等比数列,则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比,然后在错位相减,进而可得到数列
{}n n a b ⋅的前n 项和.
此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.
例23. 求和:1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )0(≠x
例24.求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前
n 项的和.
一般地,当数列的通项12()()
n c
a an
b an b =
++ 12(,,,a b b c 为常数)时,往往可将n
a 变成两项的差,采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项:
设1
2
n a an b an b λ
λ
=
-
++,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得
21
c
b b λ=
-,从而可得
122112
11
=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++
常见的拆项公式有: ①
111(1)1n n n n =-++; ②
1111
();(21)(21)22121
n n n n =--+-+
③
1a b
=-- ④11;
m m m
n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+- ⑥])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n
…… 例25. 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
例26. 在数列{a n }中,1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和.
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.
例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和:231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n
如果一个数列{}n a ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。
特征:
121...n n a a a a -+=+=
例29.求证:n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
⑸记住常见数列的前n 项和: ①(1)
123...;2
n n n +++++=
②2
135...(21);n n ++++-= ③22221
123...(1)(21).6
n n n n ++++=
++ ④2
33
3
3
)]1(2
1[321+=+
+++n n n
答案详解
例23. 解:由题可知,{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比
数列{1-n x } 的通项之积。
132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………. ①
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②(设制错
位)
①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相
减)
再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
例24. 解:由题可知,{
n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n
21}的通项之积。
设n n n
S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ………………………………② (设制错位)
①-②得 14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S (错位相
减)
112
2212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
例25. 解:设n n n n a n -+=++=
111 (裂项) 则 1
13
21
211
+++⋅⋅⋅+++
+=
n n S n (裂项求和)
=)
1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-
=11-+n
例26. 解: ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ )11
1(82
122+-=+⋅=n n n n b n (裂项)
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]11
1()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n (裂项求和)
=)1
11(8+-n =
18+n n
例27. 解:设k k k k k k a k ++=++=2
332)12)(1(
∴ ∑=++=n k n k k k S 1
)12)(1(=)32(231
k k k n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n =k k k n
k n
k n
k ∑∑∑===++1
2
1
3
1
32 (分组)
=)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
=2)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n (分组求和) =2
)
2()1(2++n n n
例28. 解:设)231
()71()41(
)11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n a
a a S n n (分组)
当a =1时,2)13(n n n S n -+==2)13(n
n + (分组求和)
当1≠a 时,2)13(1111n n a
a S n
n -+
--==2)13(11n n a a a n -+---
例29. 证明: n
n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- (反序) 又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12( …………… ② ①+②得 n n
n n n n n
n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-(反序相加)
∴ n n n S 2)1(⋅+=
例30. 解:设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②
(反序)
又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x
①+②得 (反序相加)
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S =89
∴ S =44.5
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