统计预报在地震中的应用姓名：张辉指导老师：张凡弟（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水 741001）摘要：由于地震在短时间内会造成巨大的损失，因此，预报地震成了一项重要的工作.本文主要应用泊松分布和全概率公式，对固定某地区，讨论其震级分布，最大震级以及它的分布，并作预测.关键词: 地震；泊松分布；全概率公式；震级statistics of the application in the earthquakeAbstract：In this paper, fixed in a particular area to discuss the distribution of the magnitude, the largest earthquake and its distribution by statistical forecasting methods for the economic.Key Words：Earthquake，probability and statistics，the largest magnitude1 引言地震是一种自然灾害，它可以在短时间内造成巨大的损失，因此，预报地震就成为党和人民所非常关注的问题.目前，我国正处在“十二五”的开局之年，地震科学数据对国民经济建设和国家重大工程项目决策具有非常重要的意义.2地震预报的概述2.1 地震预报的分类地震预报要指出地震发生的时间、地点、震级，这就是地震预报的三要素.完整的地震预报这三个要素缺一不可. 地震预报按时间尺度可作如下划分：（1）长期预报指对未来10年内可能发生破坏性地震的地域的预报.（2）中期预报指对未来1～2年内可能发生破坏性地震的地域和强度的预报.（3）短期预报指对3个月内将要发生地震的时间、地点、震级的预报.（4）临震预报指对10日内将要发生地震的时间、地点、震级的预报.2.2 地震预报的方法（1）地震地质方法是以地震发生的地质构造条件为基础，宏观地估计地点和强度的一个途径.可用这种方法在大面积上划分未来地震的危险地带，确定不同强度的危险地区.这种工作叫做地震区域划分.（2）地震统计方法是从地震发生的记录中去探索可能存在的统计规律，估计地震的危险性，求出发生某种强度的地震的概率.统计方法的可靠程度决定于资料的多寡.（3）地震前兆方法是根据前兆现象预测未来地震的时间、地点与强度的方法.地质方法的着眼点是地震发生的地质条件和在比较大的空间、时间尺度内地震活动的变化.统计方法所指出的只是地震发生的概率和地震活动的某种“平均”状态.若要明确地预测地震的发生地点、强度和时间，还是要靠地震的前兆.所以寻找地震前兆是地震预测的核心问题.为了取得可靠的地震前兆，必须开展长期、广泛的观测和研究.2.3 我国的震预测水平早在中国东汉时期，张衡就发明了地动仪，并于138年记录到陇西大地震,但只是对地震发生后的一种记录仪器，并不能对地震做任何预测.长期以来，人类一直尝试着对地震做出预报，以便在地震发生之前做好准备，减小地震灾害的损失.我国自1966年邢台地震以来，广泛开展了地震预报的研究.经过40多年的努力，取得了一定进展，曾经不同程度的预报过一些破坏性地震. 例如，1975年，我国成功预报了2月4日发生于辽宁海城的7.3级强烈地震，并在震前果断地采取了预防措施，使这次地震的伤亡和损失大大减小. 但是，地震预测是世界公认的科学难题，在国内外都处于探索阶段.目前，有关方法所观测到的各种可能与地震有关的现象，都呈现出极大的复杂性；科研人员所作出的预报，特别是短临预报，主要是经验性的.3 2010年的地震目录地震目录是指按时间顺序，对地震的主要参数进行收录，编辑成目录资料.对每一地震尽可能给出发震时间、震中位置、震源深度、震级和震中烈度以及破坏要点等资料.对早期的地震参数，一般根据历史记载进行估计，称之为历史地震目录.有台网记录后，现代地震的地震参数根据台网地震仪记录资料的分析给出,地震参数要较历史地震精确得多.地震目录是进行活动构造、地震预报和工程地震研究的基础资料.2010年7级以上的地震目录如下：发震时间纬度经度震级参考地点2010-01-13 05:53:08.2 15.80 -72.50 Ms7.3 海地地区2010-02-27 04:31:02.0 25.90 128.60 Ms7.2 琉球群岛2010-02-27 14:34:00.0 -35.80 -72.70 Ms8.8 智利2010-03-11 22:39:45.7 -34.20 -72.00 Ms7.2 智利2010-04-05 06:40:45.2 32.3 -115.1 Ms7.1 墨西哥2010-04-17 06:15:01.0 2.40 97.10 Ms7.8 苏门答腊北部2010-05-28 01:14:48.3 -13.70 166.50 Ms7.0 瓦努阿图2010-06-13 03:26:49.2 7.70 91.90 Ms7.6 印利巴群岛2010-06-16 11:16:00.0 -2.10 136.50 Ms7.0 印尼2010-07-18 21:35:01.7 -6.00 150.50 Ms7.0 新不列颠地区2010-07-24 07:15:08.8 6.70 123.62 Ms7.2 棉兰老岛附近海域4 知识储备4.1泊松分布Poisson分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布的概率分布为：(),0,1,2,,!kP Xkek k λλ-===⋅⋅⋅泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率.泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数.如某一时间段内某一路段的车流量，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等.4.2全概率公式全概率公式是概率论的一个基本公式，有着多方面的应用全概率公式：设实验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，1,,n B B ⋅⋅⋅为S 的一 个划分,且()0(1,2,,),i P B i n >=⋅⋅⋅则()1122()(|)()|()(|)()n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =*+*+⋅⋅⋅+*5 固定某地区讨论统计预测在地震中的应用 5.1 固定某地区，讨论震级分布固定某一地区，这地区每次发震的震级是一个随机变量，记为ξ，我们来求ξ的分布，)()(x p x F ≤=ξ为此，需要利用地震工作者通过长期实践所得到的比较可靠的经验公式，通常称为古登堡—李希特公式.它把震级与地震次数联系起来.设n （x ）是x 附近单位震级范围内的地震次数.则此公式是 ()bxa x n -=log （1）或 ()bxa x n -=10（2）这里a ，b 是两个非负常数，随地区不同而异，例如新疆地区的a ，b 可能就与日本地区的a ，b 不同.通过对该地区历史资料的统计，可以把a ，b 近似找出来，（2）式表示，震级x 越大，则具有这个震级的地震越少.令10ln a =α，10ln b =β，则（2）化为()()xbxa ee x n βα--==10ln因此，震级不超过y 的地震次数为()()xyxyxyeedx eedx edx x n βαβαβαβ----===⎰⎰⎰10而地震总次数为βαedx x n =⎰∞0)(以频率近似代替概率，即得()()()()xxedxx n dxx n x p x F βξ-∞-==≤=⎰⎰100 ()0≥x （3）称（3）中的分布为指数分布，0>β是常数，它的密度是()x e x f ββ-= ()0≥x5.2 固定某地区，讨论T 年内可能发生的最大震级以及它的分布建设规划中关心的是本地区T 年内可能发生的最大地震是几级？现在来研究T 年内最大震级*ξ的分布.我们作如下假定： 1 公式（1）成立2 以ς表此地T 年内发生的地震总次数，又以ξi 表其中第i 次地震的震级，则 ,,,21ξξξ独立；这就是说，对任意正整数K ，任意整数1,,K x x ⋅⋅⋅，有()()()1111,,|k k k kp x x k p x p x ξξςξξ≤⋅⋅⋅≤==≤⋅⋅⋅≤ (4)而且{}i ξ 有相同的分布)(x F3 ς 服从泊松分布，即()()!k CT ek p kCT-==ς ()0,1,2,k=⋅⋅⋅ （5）其中0>C为常数在这些假设下，试证 *ξ的分布为()xCTeex p βξ--*=≤ ()0≥x （6）称（6）中的分布为重指数分布.证 )|()()(0∑∞=**=≤==≤k k x P k P x P ςξζξ（用全概率公式）∑∞==≤⋅⋅⋅≤==01)k |,,()(k k x x P k P ζξξζ∑∞=≤⋅⋅⋅≤==01)()()(K Kx P x P k P ξξζ (利用（4）)∑∞=≤==0)]()[(k ki x P k P ξζ （利用iξ同分布）∑∞=-=0)]([!)(k kkCTx F k CT e（利用（5））)(0!)]([x CTF CTk kCTeek x CTF e-∞=-==∑xCTex F CT eeβ----==)](1[ （利用（3））这便证明了（6） 注：（6）式也可改写成为 ln xe()xCT C eT eP x eeββξ--*-⋅-⋅≤==)(ln u x xC TeTeee -----==ββ， （7）其中βCu ln =（8）6 预测问题根据泊松分布的性质，由（5）CTE =ζ或TE C ζ=，故C 是该地区一年内的平均地震次数. 现在可以回答以下问题：（1） 试求T 年内，以99%的概率不会超过的最小震级A 解 要求最小的A ，使满足 10099)(==≤--*ACTeeA P βξ为此，只要解下方程，把A 看成未知数，10099=--ACTee β，10099ln=--ACTeβ，10099ln1CTeA-=-β，)10099ln1ln(CTA -=-β，故)10099ln1ln(1CTA --=β（2） 试求多少年内，以99%的概率发生大于B 级的地震，为此根据 10099)(=≥*B P ξ，或1001)(=≤*B P ξ，得方程1001=--BCTee β把T 看成未知数，得BCeT β--=1001ln（3） 试求n 次地震中，以99%的概率不会超过的最小震级a ， 解 令()n n ξξξ,,max1 =*，则根据{}i ξ独立又相同分布（3）的假定，得),,()(1x x P x P n n ≤⋅⋅⋅≤=≤*ξξξ)()(1x P x P n ≤⋅⋅⋅≤=ξξnxni ex P )1()]([βξ--=≤=故由方程式10099)1(=--nxeβ解出x ，即得到所需要的a .7 结束语本文利用统计预测方法，固定某一地区来讨论了震级分布，最大震级以及它的分布，给经济建设提供了可行性的参考.若预计在某地大兴建设，可先依据本文的思路和方法计算该地T年内发生破坏性地震的可能性，然后讨论这个经济方案是否实用.天水师范学院2011届毕业论文8 参考文献[1] 郑英,概率与统计方法[M]，浙江大学出版社,2007.[2] 南开大学数学系统计预报组,概率与统计预报及在地震与气象中的应用[M]，中国科学文化出版社,1978.[3]:(美)William Mendenhall,(美)Robert J. Beaver,(美)Barbara M. Beaver,概率与统计[M]，机械工业出版社,2005.[4] 陈家鼎，郑忠国,概率与统计[M]，北京大学出版社,2007.[5] 高尚华,徐信之,概率与统计学习指导书[M]，高等教育出版社,1994.11。