一次函数之动点问题（讲义）
一、知识点睛
动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：
①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：
①路程即线段长，可根据s =vt 直接表达已走路程或未走路程；
②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．
二、精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3
34
y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，
B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为 t 秒．
（1）求OA ，OB 的长．
（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
y x
O
B
A
2. 如图，直线=3+43y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线BC 与x 轴交于点C ，
∠ABC =60°．
（1）求直线BC 的解析式．
（2）若动点P 从点A 出发沿AC 方向向点C 运动（点P 不与点A ，C 重合），同时动点Q 从点C 出发沿折线CB —BA 向点A 运动（点Q 不与点A ，C 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． （3）当t =4时，y 轴上是否存在一点M ，使得以A ，Q ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
C A
B
O
x
y C
A
B
O
x
y
3. 如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，以O 为原点建立平面直角坐标系，A ，B ，C
三点的坐标分别为A (8，0)，B (8，11)，C (0，5)，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA —AB —BD 的路线运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒．
（1）求直线BC 的解析式．
（2）若动点P 在线段OA 上运动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的14
？
（3）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
P D
C
x
A O
B
y
y
B
O A x
C
D
4. 如图，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与直线3
3
y x =
交于点P ． （1）求点P 的坐标． （2）求△OP A 的面积．
（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．
P
F
E x
A O
B y
5. 如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，平行于直线l
的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，设运动时间为t 秒（0< t <4）． （1）求A ，B 两点的坐标；
（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；
（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重 叠部分的面积为S 2，试探究S 2与t 之间的函数关系式．
x
y O
A
B
m l P
M N
【参考答案】
1．（1）OA =4，OB =3； （2）t =1或t =7 2．（1）
343y x =-+
（2）2
23(04)
2
343(48)
2
t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨
⎪-+<<⎪⎩≤
（3）123(04
38)(0438)(043)M M M -+-，或，或，
443(0)3M 或，
3．（1）354y x =+（2）3
2
t =
（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪
=-+<⎨⎪-+<<⎩
≤≤
4．（1）(33)P ， （2）2
3
（3）2
23(03)6
53163243(34)2
t
t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤
5．（1）(40)(04)A B ，,，
（2）2
1
12
S t =
（3）2
221(02)2
388(24)2
t t S t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤。