11 2
2 1 2
A 4 6 2 8 0, D1 2 6 2 8,
2 1 1
1 1 1
1 2 2 D2 4 2 2 8,
2 1 1
1 1 2 D3 4 6 2 0,
2 1 1
§1 消元法与线性方程组的相容性
Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理 论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个 数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程 组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难.
线性代数 第四章
第四章 线性方程组与向量组的线性相关性
本章教学内容 §1 消元法与线性方程组的相容性 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 §4 线性方程组解的结构
§1 消元法与线性方程组的相容性
本节教学内容 1.线性方程组的概念 2. Cramer(克莱姆)法则 3.用消元法解线性方程组
4 x1 6 x2 2x3 2
2
x1
x2
x3 1
1 1 1 2
1 1 1 2
解
( A, b) 4 6 2
2
22rr13rr32
0
4
4
4
2 1 1 1
0 3 1 3
r2 (
1)
4
1 0
1 1
1 2
1 0 0 1
1
1
3rr22 rr31 0
1
§1 消元法与线性方程组的相容性
定理1 若(A1, b1)经初等行变换化为(A2, b2)， 则线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 事实上，倍法变换相当于第i个方程两边同乘一 非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变 换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的 解不变。 定义 (A, b)称线性方程组Ax=b的增广矩阵。
§1 消元法与线性方程组的相容性
证 Ax=b，
x A1b 1 A*b A
A11 A21
1 A12
A
A1n
A22 A2n
An1 b1
An2 b2
Ann
bn
xj
1 A
n k 1
Akj bk
Dj A
( j 1,2, , n)
a11 a1 j1 b1 a1 j1 a1n
§1 消元法与线性方程组的相容性
2. Cramer法则
设n个方程的n元线性方程组 Ax=b，
其中 A (aij )nn, x ( x1, x2, , xn )T, b ( b1, b2, , bn )T,
若A≠0，则线性方程组Ax=b有惟一解
x1
D1 A
,
x2
D2 A
,
, xn
Dn A
.
其中Dj是以b代替A的第 j列所得到的n阶行列式。
下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。
§1 消元法与线性方程组的相容性
3.用消元法解线性方程组 定义1.1 若线性方程组A1x=b1的解都是线性方 程组A2x=b2的解；反之，线性方程组A2x=b2的解 都是线性方程组A1x=b1的解，则称线性方程组 A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。 在中学，我们已经知道 (1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变； (2)方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程 上，方程组的解也不变(即加减消元法)。 因此，就有
设n元线性方程组 Ax=b，称Ax=0 为与它对应的齐
次线性方程组，
若n维列向量 (≠0)满足A=0，则称x= 是齐次线
性方程组Ax=0的一个非零解， 显然x=0是Ax=0的一个解， 称它为Ax=0的零解， 或当然解，或平凡解。 若线性方程组 Ax=b有解，则称它是相容的， 否则称它是不相容的。 性质齐次线性方程组是相容的。
1x1+2x2+ … +n xn =b
若b=0, 即 Ax=0 称为齐次线性方程组 若b≠0, 即 Ax=b 称为非齐次线性方程组
若n维列向量=(1, 2,…,n)T满足A=b，则 称x1=1, x2=2,…, xn=n是Ax=b的一个解， 并称是Ax=b的一个解向量，或说x=是Ax=b的解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
其 中 Dj a21
a2 j1
b2 a2 j1 a2n
#
a1 anj1 bn anj 1 ann
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1.1 解线性方程组
x1 x2 x3 2
4 x1 6 x2 2x3 2
2
x1
x2
x3 1
x1 1, x2 1, x3 0.
解
§1 消元法与线性方程组的相容性
1.线性方程组的概念 n元线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中 aij , bi 为常数, x j为未知量(i 1,2, , m; j 1,2, , n)
1
1
0 3 1 3
0 0 2 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
1
0
0
1
r3
1 2
1
0
0
1
1
r3 r2
0
0
1
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1
0 0 2 0
0 0 1 0
0 0 1 0
x1 -1,
于是方程组的解为
x2
-1,
x3 0.
§1 消元法与线性方程组的相容性
用消元法解线性方程组的思想方法是, b)化为最简行阶梯 形矩阵(C, d)； (2)解方程组Cx=d，其解即是方程组Ax=b的解.
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1.2 用消元法解线性方程组
x1 x2 x3 2
记： A (aij )mn, x ( x1, x2, , xn )T , b ( b1, b2, , bm )T, 称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列， 则线性方程组可写成矩阵形式 Ax=b
§1 消元法与线性方程组的相容性
设n元线性方程组 Ax=b，若A按列分块为 A=(1, 2, … ,n)，则方程组可写成向量形式
R(A)=R(A,b)=3 (未知量个数) 方程组有惟一解。
§1 消元法与线性方程组的相容性
例1 用消元法解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8 2x1 x2 x3 2x4 7
解
1 ( A, b) 3