设一幅图像中，背景和目标物的灰度级分布概率 密度p1(z)和p2(z)均为高斯函数，它的混合概率密度是：
其中µ1和µ2分别是背景和目标区域的平均灰度值， σ1和σ2分别是关于均值的均方差，P1和P2分别是背 景和目标区域灰度值的的先验概率。根据概率定义有 P1+P2=1，所以混合概率密度中有5个未知的参数。如 果能求得这些参数就可以确定混合概率密度。
5.1.4.2 阈值选定
(2) 对噪声的处理 对直方图进行平滑处理（如插值）。
第 五 章 图像 分 割 和 分析
5.1.4.2 阈值选定
3) 最佳阈值(Optimal Threshoding) 最佳阈值：使图像中目标物和背景分割错误最小的 阈值。
有时目标和背景的灰度值有部分交错，用一个全局阈值 并不能将它们绝对分开。这时常希望能减小误分割的概率， 而选取最优阈值是一种常用的方法。设一幅图像仅包含两类 主要的灰度值区域（目标和背景），它的直方图可看成灰度 值概率密度函数p(z)的一个近似。这个密度函数实际上是目 标和背景两个单峰的两个单峰密度函数之和。那么就有可能 选取一个最优阈值把图像分成两类区域，而使误差最小。
第 五 章 图像 分 割 和 分析
5.1.4.1 阈值分割法简介
2 阈值分割法的特点： • 适用于物体与背景有较强对比的情况，重 要的是背景或物体的灰度比较单一。 • 这种方法总可以得到封闭且连通区域的边 界。
灰度值 f(x0,y0) T
第 五 章 图像 分 割 和 分析
5.1.4.2 阈值选定
E1 (T ) =
−∞
∫ p (z )dz
2
T
E 2 (T ) = ∫ p1 (z )dz
T
∞
总的误差概率是
E(T ) = P2 E1 (T ) + P1E 2 (T )
最优阈值就是使E(T)为最小时的T。
为求得使该误差最小的阈值可将E(T)对T求微分，并令微 分式等于零，结果是 P1p1(T)=P2p2(T) 将这个结果用于高斯密度，可得到解一元二次方程的根 判别式的系数： 2 A = σ1 − σ2 2
第 五 章 图像 分 割 和 分析
T
算法简介： 设灰度直方图为RHST(z)，0 ≤ z ≤ N-1 (1) 在 0 → N-1的范围内变化z，对于每一个灰度值z，在比z小 的灰度范围NL内，求一系列的RHST(z1’)-RHST(z) （0 ≤ z1'<z） ，找出其中的最大值为∆L； (2) 同理，在比z大的灰度范围NH 内，对于每一个灰度值z， 求一系列的RHST(z2')-RHST(z) （z < z2’ ≤ N-1）, 找出其中的 最大值为∆ H； (3) 当∆ L和∆ H的积为最大时的灰度Z为Zm，则所求的阈值 为Zm。
R(i ) = P − ∑ RHST( j )
j =0
i
（ RHST(j)为直方图）
R (k ) = min (R (i ))
i
概率
PTILE%
JTHD=k
JTHD
灰度级
5.1.4.2 阈值选定
2) 状态法（the mode method ）（双峰法） – 基本思想 边界上的点的灰度值出现次数较少。 – 取值的方法 取直方图谷底(最小值)的灰度值为阈值T。
第 五 章 图像 分 割 和 分析
5.1.4.2 阈值选定
– 实施方法： （1）通过光标获得样点值f(x0,y0) （2）选取容忍度R （3）if |f(x,y)–f(x0,y0)| ≤ R set 255 else set 0
第 五 章 图像 分 割 和 分析
2 利用灰度直方图选阈值
1) P-块法（the p-tile method, 又称为P-参数法, 或试 探法）
5.1.4 阈值分割法（相似性分割）
• 5.1.4.1 阈值分割法简介 • 5.1.4.2 阈值选定 • 5.1.4.3 图像阈值化
第 五 章 图像 分 割 和 分析
5.1.4.1 阈值分割法简介
1 阈值分割法(thresholding)的基本思想：
• 确定一个合适的阈值T（阈值选定的好坏是 此方法成败的关键）。 • 将大于等于阈值的像素作为物体或背景（即为1） Else set 0
（1）首先给出先验的信息 P=S0 / S （2）在直方图中求出阈值，以保证S0 / S =P （3）反复试若干次（指(1)、(2)步）
概率 PTILE%
第 五 章 图像 分 割 和 分析
JTHD
灰度级
如何实现第(2)步 设0≤P≤1 对于每个灰度级 i=0,1,…,L-1
第 五 章 图像 分 割 和 分析
第 五 章 图像 分 割 和 分析
5.1.4.2 阈值选定
p(z) = P1p1 (z) + P2p2 (z) (z − µ2 )2 (z − µ1 )2 P1 P2 exp− exp− = + 2 2 2σ1 2πσ2 2σ2 2πσ1
第 五 章 图像 分 割 和 分析
RHST
第 五 章 图像 分 割 和 分析
Zm
N-1
z
5.1.4.2 阈值选定
– 缺点：会受到噪声的干扰，最小值不是预 期的阈值，而偏离期望的值。 – 改进： (1)取两个峰值之间某个固定位置，如中间 位置上。由于峰值代表的是区域内外的典 型值，一般情况下，比选谷底更可靠，可 排除噪声的干扰。
第 五 章 图像 分 割 和 分析
1 通过交互方式得到阈值
– 基本思想：
• 在通过交互方式下，得到对象（或背景 ）的灰 度值，比得到阈值T容易得多。 假设：对象的灰度值(也称样点值)为f(x0,y0),且： T = f(x0,y0) – R 有： f(x,y) ≥ T f(x,y) ≥ f(x0,y0) – R |f(x,y) – f(x0,y0)| ≤ R 其中R 是容忍度，可通过试探获得。
例：最优阈值的计算
p(z) E1(T) p1(z) p2(z) E2(T) z 0
第 五 章 图像 分 割 和 分析
如上图，假设µ1 < µ2，需定义一个阈值T，使得灰度值小于T 的像素分割为背景，而使得灰度值大于T的像素分割为目标 这时错误地将目标像素划分为背景的概率和将背景像素错误 地划分为目标的概率分别是：