6
（2）由位移条件，建立力法典型方程。
1211XX111222XX2212CCa
h
（3）计算系数与自由项
系数 ——计算同前由图乘求得。
X1
自由项——基本结构由支座移
动引起的沿Xi方向的位移，即：
ΔiC=－∑RiCi
l
B
X2
基本体系
A
7
h
B
B
1
A
X1＝1
b
h/l
M1图
X2＝1
A
b
1/l
M2图
（4）将系数和自由项代入力法方程，求得X1、X2。 （5）求弯矩
【例】试计算图(a)所示刚架，并绘出内力图。
【解】(1) 选取基本结构 此结构是三次超静定 对称刚架，取对称的基本结构如图(b)所示，X1、 X2为对称多余未知力，X3为反对称多余未知力。
(2) 建立力法方程 根据前面分析，力法方 程将分为两组，即
δ11X1+δ12X2+Δ1P=0
δ21X1+δ22X2+Δ2P=0
代入力法方程，解得：
x1
1P
11
5FP 16
计算杆端弯矩：
M AB L(51 FP6 )F2 PL3F 1PL 6 （外侧受拉）
弯矩图如L/16
A
A
A`
3FPL/16
18
(2)求图(b)刚架在反对称荷载作用下的内力计算
取对称的基本结构，只考虑反对称的多余未知力，建
1
L b X2
3L
31X由1+图乘32X法2求+ 得33X3+△3P=0
X1 1 M 1图
M 2图
11 作3LE基I 本结22 构3LE各I M 和12 M2P1图 6LEI
1 X2 1 X3 1
则由 1 2典于P P1 3型M =E P1 3方=a( 630程1 2 (E1bI L ,=故P I第L La)三L 2a ) 3=式L b ( 3 L 为b 3) 2= △P36 ( PE L a = 0b I)L
支座移动时的计算
一、支座移动时的计算 1.支座移动和温度改变对超静定结构的影响
超静定结构由于支座移动或温度改变，都会引起结构 产生变形和位移，并使结构产生内力。
2.支座移动时的内力计算 用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法与
荷载作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项的 计算不同。
A
5
注意
解题技巧： 合理选取基本结构，尽量使
图简单，以利于图乘。
MP、Mi
对于多跨连续梁，常利用铰结点不传递 弯矩的特点，在支座处插入铰, 使某些副系 数ij =0。
A
1
q
A
B
q
q
x1
C
x2
D
原结构
基本结构1
MP
x 1=1
A
x 2=1
M1 M2 2
q
A
B
C
q
x1 x1
q
x2 x2
x 1=1
x 2=1
A
D
MM1X1M2X2
A
8
• 例：图(a)所示超静定梁，设支座A发生转角θ，求作梁
的弯矩图。已知梁的EI为常数。
• 【解】(1) 选取基本结构，原结构为一次超静定梁，
•
选取图(b)所示悬臂梁为基本结构。
•
(2) 建立力法方程 原结构在B处无竖向位移，
•
可建立力法方程如下：
•
δ11X1+Δ1C=0
A
9
(3)计算系数和自由项
力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处沿多余未 知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力方向 的已知实际位移值Δi，当Δi与多余未知力方向一致时取 正值，否则取负值。
例：图示刚架，设支座A发生了图示位移。 l
B
（1）判定超静定次数，取基本体系。
h
二次超静定，基本体系如图示。
A b
a φ 原结构
A
原结构
基本结构2
MP M1 M32
例 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。
a P b
A
B
L
解：n=3
选取简支梁为基本结构 典型方程为
X1
P
基本结构
X3
11X111X+1+12X122X+2+1△3X13P+=△0 1P=0 21X211X+1+22X222X+2+2△3X23P+=△0 2P=0
δ33X3+Δ3P=0
A
11
A
12
•
(3) 计算系数和自由项 作荷载弯矩图MP
和单位弯矩图M1、M2、M3，分别如图(c)、(d)、
(e)、(f)所示。
•
利用图乘法求得各系数和自由项分别为
•
δ11=72/EI
•
δ22=8/EI
•
δ12=δ21=18/EI
•
δ33=60/EI
•
Δ1P=-486/EI
M 3图 P Pab L
Pab 2
L 2 M图
MP图
Pa 2 b L2
A 故作按代解代弯式入得入32 X 3X 矩典1 ≠M 典1 X0 图2 型X1(型X X 因12 2。方3 方PX 3XLaPP P XXb程2aL1 3程3b的2M 3a a3((2L L (=L L =解2 2 消b b解1 00a b 得去)X)唯 XX 2公0 0 一22 P因M )LaP22La子b2 22b )得M 4 P
C C`
B x1
x1
B`
B
C C` B`
x1
x 1= 1
A
A`
基本体系
A L
A` L
M1图
A
16
由M1图、MP图乘求系 数和自由项：
B
C C` B`
11E 2(I1 2LL3 2L)3 2E L3 I
A
1PE 2(1 I2F 2 PLL 26 5L)5 2 F P E 4 L 3I
A`
MP图
A
17
•
Δ2P=-180/EI
•
Δ3P=526.5/EI
A
13
•
(4) 求多余未知力 将以上各系数和自
由项代入力法方程，经整理后得
•
72X1+18X2-486=0
•
18X1+8X2-180=0
•
60X3+526.5=0
•
解得X1=2.57kN, X2=16.72kN·m,
8.78kN
X3=-
•
(5) 作内力图
立图示基本体系。
x2
C C`
B
B`
x2
x 2= 1
C C` B
B`
x2
A
A`
基本体系
A
A
M1图
A`
19
• 最后弯矩图如图(g)所示，剪力图和轴力图分 别如图(h)、(i)所示。
A
14
【例2】计算并绘制一超静定刚架分别在图(a)、(b)所示荷载作 用下的弯矩图。
B
C
B`
B
C
B`
L/2
L/2
L/2
L/2
A L /2
A` L /2
图(a)
A L /2
A` L /2
图(b)
A
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解：(1)求图(a)刚架在正对称荷载下的内力计算
作单位弯矩图M1如图(c)所示，可由图乘法求得
δ11=l3/3EI
Δ1C=－∑RiCi=－(l·θ)=－lθ
(4)求多余未知力 将δ11、Δ1C代入力法方程得
l3 3EI
X 1 l g
0
X1
3E I l2
(5)作弯矩图 由于支座移动在静定的基本结构中 不引起内力，故只需将M1图乘以X1值即可。
A
10