5）叠加最后弯矩图 M=∑Mi· Xi+MP
X 2 6 KN
X1 35/ 4KN
18 kNm 18 kNm
97.5 kNm 34.25 kNm
例6．计算下列超静定刚架，EI=常数。
EI=常数
P
4m
2m
2m
1 1 756 1P 3 168 3 EI 2 EI 1 1 5 1260 2 P 3 168 6 EI 2 6 EI
4）解力法方程
δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0 δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
例5 力法解图示刚架。 3m
1）2次超静定超静定 2）选取力法基本体系；
56 kN
3）画MP图、M图，
求系数
3m
3m 3m
X1
56 kN
X2 168
MP
例5 力法解图示刚架。 3m
1）2次超静定超静定 2）选取力法基本体系；
56 kN
3）画MP图、M图，求系数和自由项
3m
3m 3m
X1=1 3 X2=1
力法计算超静定刚架
解：1. 一次超静定 2. 选取基本体系与多余未知力 2m
6 kN/m
C
B
A 6m
6 kN/m
4m
X
2m 4m
基本体系 6m
3）作 M P图，M图 2m
6 kN/m 4m 基本体系 6m
12
108
96
12
18KN MP
1 1 2 1 2 160 11 6 4 4 4 4 4 EI 2 3 2 3 3EI 1 1 2 1 2 1P 6 4 108 4 96 4 EI 2 3 2 3 2 1 1440 4 12 4 3 2 EI
4
X1=1
X2=1
MP
A 24/7
M1
M2
4
X1 22 9 , X2 7 7
MA=16-4×22/7-4×(-9/7) = -12/7(右侧受拉) MB=16-4×22/7+0
= 24/7(左侧受拉)
12/7 M图，单位：kNm
例4 力法解图示刚架。
q=23kN/m
C
EI A
EI EI
要求基本体系在X1，X2， X3和 P单独作用下在B截面的 水平和竖直位移以及转角的叠加为零
A B
X1
A P1
B X2
P2
A
X3
B
A
B
求位移
令X1，X2， X3分别等于1
δ32 A δ31 B X1=1 δ21
A
B X2=1 δ12
δ22
δ11
P1
A
δ33
B X3=1 δ23 δ13
P2
A Δ 3P Δ 1P B Δ 2P
§ 5-2 力法的典型方程
力法关键：根据位移协调条件建立力法方程求 解多余未知力
一、示例 P1
P2 A B
1. 结构为3次超静定结 构，要去掉3个约束变 为静定结构
2. 选取基本体系如下
P1
3. 基本思路
P2 A X3 B X2 X1
1）原结构的受力和变形可等价于基本结构在X1，X2和X3 及荷载P共同作用。
4
4
X=1
1
M图
4. 解力法方程
11 X 1P 0
解得：X 9，方向向左
5. 依叠加法作出弯矩图
12 108
96
MP
M M =96+4 =108+4 × × (-9)= (-9)= 60( 72( 右侧受拉 下侧受拉 )) CA CB
12 72
60 4
C 4
B
A
M图，单位：kNm
q=23kN/m
X1
X1 =1
↑↑↑↑↑↑↑ MP
M1 6 6
1 6 6 6 108 12 21 414 EI 2 EI 1 6 6 2 6 3 288 22 6 EI 2 3 EI
X2 =1 X2 M2
1 6 414 3 6 3726 1P 2P 0 EI 3 4 EI
4）解力法方程
6 6
δ11X1＋ δ12X2＋Δ1P＝0
δ21X1＋ δ22X2 ＋Δ2P＝0
X1=36， X2=－13.5
5）叠加最后弯矩图 ↑↑↑↑↑↑↑ MP
M=∑Mi· Xi+MP
X1
X1 =1
X2 =1 X2 M2 6
6 6
q=23kN/m
M1 6
414
81 103.5 M kNm 198 135
3 Pl / 8
X1
例1. 力法解图示结构,作M图.
P M X1
3Pl / 32
4)求解力法方程
11 X1 1P 0
X1 11P / 16
M1
l/2
X1=1
5）作弯矩图
P
MP
M M1 X1 M P
Pl / 4
3 Pl / 8
P M
3Pl / 32
解:
1）1次超静定次数 2）选取基本体系 3)作 M P图，M 图求系数
*依叠加法作出弯矩图。
M M P M1 X1 M 2 X 2 M3 X 3
二、力法的典型方程
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0
21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0
称为力法的典型方程
6
M
6m
6
X1=1
1 2 8160 5120 1P 6 EI 3 EI
4)求解力法方程
11 X1 1P 0
X1
6
M
6
1P
11

320 27
X1=1
5）作弯矩图
M M1 X1 M P
320/27
160 M图(kN.m)
q=20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D 6m q=23kN/m
X1
X2
X2 基本体系
6m
B
q=23kN/m
1）2次超静定超静定 2）选取力法基本体系； 3）画MP图、M图，求系数
↑↑↑↑↑↑↑
X1
↑↑↑↑↑↑↑
X1
↑↑↑↑↑↑↑
414
MP
X1 =1
X2 =1 X2
6 6
M1 6 6
M2
11
1 6 6 2 6 144 2 EI 2 3 EI
2）基本体系的受力可看作基本结构在： X1 ， X2 ，X3和P单独 作用下的叠加。
+
A
B
X1
A
P1
B
X2
+
A X3 B
+
P2 A
B
3）位移协调条件的描述 P1
P1
P2 A
P2
B
A
X3
B X2
X1
原结构在B截面的水平和竖直位移以及转角为零
要求基本体系在B截面的水平和竖直位移以及转角为零 Δ 1=0， Δ 2=0， Δ 3=0
M1
6 6
M2
X1=1 3
X2=1
168
MP
M2
M1
6 6
2 1 2 126 11 3 3 3 3 6 3 EI 2 3 EI 2 1 2 144 22 6 6 6 12 21 0 EI 2 3 EI
4)求解力法方程
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
22 9 解得： X 1 , X 2 7 7
5）作弯矩图 M M P M1 X1 M 2 X 2
16 B C
3P
P2 Δ
2P 2P
Δ
MP图
X3=1 X1=1 X2=1
M1 图
M2 图
M3 图
4）弯矩图的作法
P1
M M P M1 X1 M 2 X 2 M3 X 3
P2 MP图
X3=1
X1=1
M1图 M2图
X2=1
M3图
5）把上述过程总结如下的简洁步骤： *确定超静定次数 *选取基本体系
M i 图,求出 ij , iP *作MP图，
*写力法方程
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0
21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0
31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
物理意义：基本体系中去掉约束处的位移应该等于 原结构相应的位移 P1
P1 P2 P2 A B A X3 B X2 X1
设结构为n次超静定，选基本体系后有n个多余未知力，分别
为X1 ，X2 ，...，Xn 则荷载P，X1 ，X2 ，...，Xn 各力都
P X1
11 2l / 3EI
1P 1 1 Pl 1 Pl 2 l EI 2 4 2 16EI
M1
1
4)求解力法方程 X1=1 P
11 X1 1P 0
X1 3Pl / 325）作弯矩图MPPl / 4
M M1 X1 M P
§ 5-3
例1 作弯矩图
δ32 δ31 X1=1 δ22