勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个形的面积之和等于斜边上的形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几何③作长为n的线段。

（利用勾股定理探究长度为,3作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。

）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。

若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。

如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律：①丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ②毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③ 柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数） 3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

（2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.二、本章解题技能归纳1、直角三角形的性质与判定小结（1）直角三角形的性质：角的关系：直角三角形两锐角互余。

边的关系：直角三角形斜边大于直角边。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

双垂图：双垂图中的线段关系。

（2）直角三角形的判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。

2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c ，由勾股定理知道：222c b a =+。

变形得：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。

3、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边（1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3。

（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1。

（3）等边三角形的边长为a ，则高为23a ，面积为243a 。

三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”（1 如左图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1,S2,S3有什么关系？答：（2）如图：∠C=90°，△ABC 的面积为20，在AB 的同侧，分别以AB,BC,AC 为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型一、基础练习（要求熟练掌握）1、在ΔABC 中，a ,b ,c 为三边长.(1)当∠A =90°时，三边关系 .(2)当∠C =90°时，三边关系 .(3)当222b c a =+时， =90°.2、如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC=a,AC=b,AB=c .（1） 已知a =5,b =12,则c = ;（2） 已知b =6,c =10, 则a =（3） 已知a =2,c =5,则b = ；（4） 已知a =15,b=20, 则△ABC 的周长= ；（5） 已知a =2, c =2.5, 则△ABC 的面积= ；（6） 已知a : c =3:5, a + c =32, 则b =;b a（7） 已知c =10, a : b =3:4, 则a = , b = ，斜边上的高= 。

3、已知△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =5， 求AB 的长。

4、在△ABC 中，∠C =90°，AB =20。

（1）若∠B=45°，求BC 、AC 。

（2）若∠A =60°，求BC 、AC 。

5、求下列图中未知数x 、y 、z 的值：x= ; y= ;z = ;二、与其它章节知识的联系6、在△ABC 的三边 c b a ,,，且442222b a c b c a -=-，判断△ABC 的形状。

7、若△ABC 的三边c b a ,,满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，判断 △ABC 的形状。

8、△ABC 的三边c b a ,,，满足c a b b a ,161210022+=++边的长是55352-+=-x x x 的解，求△ABC 中最大角的度数。

9、用本章学过的知识判断直线33+=x y 与331+-=x y 的位置关系，说明理由。

10、在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？11、为美化环境，计划在某小区用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

12、如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25千米，C、D为两个村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15 千米，CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E的的距离相等，则E应建在距A多少千米处？13、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米，其中A距河210米，B距河570米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处？三、典型数学思想、方法的训练(一)方程思想进行计算14、小明用一根长30厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一条线段的长度比较短线段长7厘米，比较长线段短1厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？2，15、已知△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC、AC 的中点，AD=5，BE=10求AB的长.16、有一个水池，水面是一个边长为10尺的形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。

如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。

这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？17、如图所示．已知：在形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，作EF ⊥AC 于F ，作FG ⊥AB 于G ．求22FG AB的值．(二)构造直角三角形18、已知△ABC 中，AB =8，AC =7，BC =6，求△ABC 的面积。

19、已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2-2，求BC的长。

20、已知：如图，AB＝AC＝20，BC＝32，D为BC边上一点，∠DAC＝90°．求BD的长．21、（1）写出三种用“构造斜边长为7的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案。

（2）能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法” 来作长为7的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由。

（3）在（1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段，对于正整数k，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为k的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。

DB(三)勾股定理与变换22、已知矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面C '处，BC '与AD 交于点E ，AD=8，AB =4，求DE 的长。

23、（2004年荆州中考）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。

如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到'''D C AB 的位置，连结'CC ，设c AC b BC a AB ===,,，请利用四边形''BCC D 的面积证明勾股定理。

1)()(231221=+h h h h24、△ABC 中,CD 是AB 边上的中线，AC =8，BC =6，CD =5，判断△ABC 的形状。

(四)面积法: 25、设321,,h h h 表示三角形的三条高，如果 ，那么这个三角形是什么三角形？26、证明：直角三角形的斜边与斜边上的高的和大于两直角边之和。

27、已知：平面直角坐标系xOy ，点A （-），B ），C (0,－3)， （1）判断ABC ∆的形状并说明理由；（2）若点D 的坐标为(4)-，求BCD ∆中CD 边上的高h 的值.28.如图，已知直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别 交于点A 、B ,以线段AB 为直角边在第一象限 作等腰RtΔABC , ∠BAC =90O ,且P (1,a )为坐标系中 的一个动点.(1)求ΔABC 的面积ABC S ∆；(2)证明不论a 取任何实数，ΔBOP 的面积是一个常数； (3)要使得ΔABC 和ΔABP 的面积相等，数a 的值.(五)代数计算证明几何问题:29、求证：直角三角形中两直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．30、如图△ABC中，∠C=90°，M是CB的中点，MD⊥AB于D，AD、BD、AC总能构成一个直角三角形。

FA 31、形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，AF =AD 41，求证：CE ⊥EF .32、（1）已知：如图，CD ⊥AB ，OA ＞OB ，求证：①2222BC AD BD AC +=+；②2222AC BC AD BD -=-.AB（2）运用（1）的结论可以证明下列命题：已知：如图，设M是△ABC部任意一点，MD⊥AB于G，ME⊥BC于K，MF⊥CA于H，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF；(六)图形的割、补与拼图33、已知：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD=52，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。