《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c，那么a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b 2， b 2= c2-a2。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（7, 24, 25 ）（ 8, 15, 17 ）（9 , 12, 15 ）4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.2. 如图，以Rt△ ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系.3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、S,则它们之间的关系是（）A. S i- S2= S3B. S i+ S2= S3C. S2+S3< SiD. S2- S3=Si4、四边形ABC［中, / B=90°, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四边形ABCD勺面积。

5、在直线I上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 $、S2、S3、S4，则S i S2 S3 S4= _______________ 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边1在直角二角形中,若两直角边的长分别为5cm 12cm，则斜边长为_______________________2•已知直角三角形的两边长为3、4,则另一条边长的平方是_____________________3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，求斜边上的高.4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5、在Rt△ ABC中，/ C=90°①若a=5，b=12，贝卩c= ______ ;②若a=15，c=25,则b= __________ ;③若c=61，b=60,则a= ________ ;④若a : b=3 : 4，c=10 则Rt△ ABC的面积是= ____ 。

6、如果直角三角形的两直角边长分别为n21，2n （n>1），那么它的斜边长是（）2 2A 、2n B、n+1 C、n —1 D n 17、在Rt△ ABC中, a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A. a2 b2 c2B. a2c2b2C. c2 b2 a2D.以上都有可能&已知Rt△ ABC中, Z C=90°,若a+b=14cm c=10cm 贝u Rt△ ABC的面积是（）A、24 cm2B、36 cm2C 48cm2 D 60cm22 2 29、已知x、y为正数，且I x -4 | + （y -3 ）=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7 D 15考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰一?中,求①AD的长；②厶ABC的面积. ，七是底边上的高，若-匸-「工匸〔’一二匚考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 2 ，3，4C. 11 ，12，13D. 8 ，15，172、若线段a，b，c组成直角三角形，贝尼们的比为（）A、2 : 3 : 4B、3 : 4 : 6C、5：12：13 D 、4 : 6 : 73、下面的三角形中：①厶ABC中，/ C=Z A-Z B;②厶ABC中, Z A:Z B:Z C=1: 2: 3;③厶ABC中, a：b: c=3: 4: 5;④厶ABC中，三边长分别为8，15，17.其中是直角三角形的个数有（）.A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个4、若三角形的三边之比为-I：1：1，则这个三角形一定是（）2 V2A.等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D. 不等边三角形2 2 2 2 25、已知a，b，c ABCE边，且满足（a —b）（a +b -c）= 0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形&将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A.钝角三角形B. 锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2 c2 200 12a 16b 20c，试判断△ ABC的形状& △ ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数, 且a+b+c是3的倍数，贝U c应为 _________ 此三角形为______________ 。

例3:求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是_______________ 度。

（2）已知三角形三边的比为1 3 : 2，则其最小角为_________________ 。

考点五：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示，其中AB=5,BC=3米，一匚-，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为_________________ .E3考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗?2、一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑2米，那么，梯子底端的滑动距离____________ 米.4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm计算两圆孔中心A和B的距离为60A :丄-建）. !-:0~~T第5题图76、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米,1 4B53.「2两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米.第6题图7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A 处登陆后，往东走8km又往北走2km 遇到障碍后又往西走3km再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km?就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？考点七：折叠问题两直角边AC=6 BC=8将厶ABC折叠，使点B与点A重合,3、折叠矩形ABCD勺一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10C求CF和EG4、如图，在长方形ABCD中, DC=5在DC边上存在一点E,沿直线AE把厶ADE折叠，使点D 恰好在BC边上，设此点为卩，若厶ABF的面积为30，求折叠的△ AED的面积1、如图，有一张直角三角形纸片,折痕为DE则CD等于（）A. 254B.22C. D.2、如图所示，已知△ ABC中, / C=90°，AB的垂直平分线交BC?于M 交AB于N,若AC=4 MB=2M，求AB的长.少？5、如图，矩形纸片ABCD勺长AD=9c m，宽AB=3c m ,将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是F____IDE6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置,CE与AD交于点F。

(1)试说明：AF=FC (2)如果AB=3 BC=4求AF的长7、如图2所示，将长方形ABCDft直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm AB=8cm则图中阴影部分面积为.&如图2-3，把矩形ABCDS直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=?3，BC=7 重合部分厶EBD的面积为__________ .9、如图5,将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G如果M为CD边的中点，求证：DE DM EM=3 4: 5。

10、如图，长万形ABCD中, AB=3 BC=4若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（）A. 3.74 B . 3.75 C . 3.76 D . 3.7711、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm,宽为4cm将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P:①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cr?若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由.C12、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜边BC的中点，E、F分别是AB AC边上的点，且DELDF,若BE=12 CF=5.求线段EF的长13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN= 30°，点A处有一所中学，A= 160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h, 那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的二角形都是直角二角形，其中最大的正方形的边长为5,则正方形A, B, C, D的面积的和为________________2、已知△ ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ ACD再以Rt A ACD勺斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ ADE…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_____________ .题四边形的面积_________________考点九、图形问1、如图1，求该B3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD 是长方形,上部是以A D 为直径的半圆，其中AB =2.3 m, BC =2m ,现有一辆装满货物的卡车 高为2.5m ,宽为1.6 m ，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的 理由4、 将一根长24 cm 的筷子置于地面直径为5 cm,咼为12 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子 外面的长为h cm,贝U h 的取值范围 ______________ 。