中考数学《圆》专项训练及答案解析1．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A 作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．解：（1）证明：∵BC∥AE，∴∠ACB＝∠EAC，∵∠ACB＝∠BAD，∴∠EAC＝∠BAD，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，∴CE＝CA．（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．∵∠EAD＝∠CAB，∴＝，∴DM＝BC＝10，∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，∴∠MDE＝∠CAM，∵∠E＝∠CAE，∴∠E＝∠MDE，∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，∴EH＝DH，∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，∴cos∠E＝＝，∴EH＝4，∴DE＝2EH＝8．2．（2018•河池）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．（1）证明：连接OC，∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠EDC+∠ECD＝90°，∵∠A＝∠CDE，∴∠A+∠DCE＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO+∠DCE＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝4，BD＝3，∴OC＝OB＝AB＝2，∴OD＝2+3＝5，∴CD＝＝＝．3．（2018•朝阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AB，OD与AC的延长线交于点D，点E在OD上，且CE＝DE．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若OA＝，AC＝3，求CD的长．（1）证明：连接OC，∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠D+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D，∵∠ACO+∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥AD，∴直线CE是⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADO，∴，∴＝，∴AD＝8，∴CD＝AD﹣AC＝5．4．（2018•安丘市）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求△OAF的面积．（1）证明：∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ODB ＝∠ACB ，∴OD ∥AC ．∵DE ⊥AC ，OD 是半径，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：如图，过点O 作OH ⊥AF 于点H ，则∠ODE ＝∠DEH ＝∠OHE ＝90°，∴四边形ODEH 是矩形，∴OD ＝EH ，OH ＝DE ．设AH ＝x ．∵DE +AE ＝8，OD ＝10，∴AE ＝10﹣x ，OH ＝DE ＝8﹣（10﹣x ）＝x ﹣2，在Rt △AOH 中，由勾股定理知：AH 2+OH 2＝OA 2，即x 2+（x ﹣2）2＝102，解得x 1＝8，x 2＝﹣6（不合题意，舍去）．∴AH ＝8，OH ＝6，∵OH ⊥AF ，∴AH ＝FH ＝AF ，∴AF ＝2AH ＝2×8＝16∴△OAF 的面积＝×16×6＝48．5．（2018•营口）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD，过点A作直线MN，使∠MAC＝∠ADC．（1）求证：直线MN是⊙O的切线．（2）若sin∠ADC＝，AB＝8，AE＝3，求DE的长．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵∠B＝∠D，∠MAC＝∠ADC，∴∠B＝∠MAC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠BAM＝90°，∴AB⊥MN，∴直线MN是⊙O的切线；（2）解：连接OC，过E作EH⊥OC于H，∵sin∠ADC＝，∴∠D＝30°，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠AOC＝60°，∵AB＝8，∴AO＝BO＝4，∵AE＝3，∴OE＝1，BE＝5，∵∠EHO＝90°，∴OH＝，EH＝，∴CH＝，∴CE＝＝，∵弦CD与AB交于点E，由相交弦定理得，AE•BE＝CE•DE，∴DE＝＝＝．6．（2018•丹东）如图，直线AD经过⊙O上的点A，△ABC为⊙O的内接三角形，并且∠CAD ＝∠B．（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）解：（1）直线AD与⊙O的位置关系是相切，理由是：作直径AE，连接CE，∵AE为直径，∴∠ACE＝90°，∴∠E+∠EAC＝90°，∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠E，∴∠E＝∠DAC，∴∠EAC+∠DAC＝90°，即OA⊥AD，∵OA过O，∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；（2）连接OC，过O作OF⊥AC于F，则∠OFA＝90，∵∠CAD＝30°，∠DAO＝90°，∴∠OAC＝60°，∵OC＝OA＝1，∴△OAC是等边三角形，∴AC＝OA＝1，∠AOC＝60°，∵OA＝OC，OF⊥AC，∴AF＝FC＝，由勾股定理得：OF＝＝，∴阴影部分的面积为﹣＝﹣．7．（2018•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，点O在边AB 上．过点A、D的圆的圆心O在边AB上，它与边AB交于另一点E．（1）试判断BC与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，sin B＝，求AD的长．解：（1）BC与圆O相切，理由如下：如图，连接OD∵OA＝OD∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠DAO∴∠CAD＝∠ODA∴DO∥AC∵AC⊥CD∴OD⊥BC，且D在圆O上，∴BC与圆O相切（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，sin B＝，∴AB＝10，BC＝8在Rt△BDO中，sin B＝＝＝，∴30＝8DO∴DO＝＝AO∴BO＝AB﹣AO＝∴BD＝＝5∴CD＝BC﹣BD＝3在Rt△ACD中，AD＝＝＝38．（2019•邵阳县一模）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．（1）证明：如图1，连接OB，∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE；（2）如图2，连接BD，∵CE丄AB，∴∠E＝90°，∴BC＝＝＝5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴，∴BC2＝CD•CE，∴CD＝＝，∴OC＝＝，∴⊙O的半径＝．9．（2018•鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC 的延长线于点E．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．解：（1）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO＝∠ABO，∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线；（2）∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵BE⊥DE，∴∠E＝90°，∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠EBC，∴∠ACB＝∠BCE，∵sin∠BCE＝，∴sin∠ACB＝，∵AB＝3，∴AC＝4，∵∠BDE＝∠BAC，∴sin∠DBE＝，∵BD＝AB＝3，∴DE＝，∴BE＝＝，∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，∴△BDE∽△CBE，∴＝，∴CE＝，∴CD＝，∴AD＝＝．10．（2018•铁岭）如图，四边形ABCD中，连接AC，AC＝AD，以AC为直径的⊙O过点B，交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求的长．（结果保留π）（1）证明：设圆心为O，连接OE，AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AED＝90°，∵AC＝AD，∴∠CAE＝∠DAE，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴∠EAF+∠AEF＝∠AEF+∠DEF＝90°，∴∠EAF＝∠DEF，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠OEA＝∠DEF，∴∠OEA+∠AEF＝90°，∴∠OEF＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接OB，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝2，∵∠CAD＝30°，∴∠CAE＝CAD＝15°，∴∠COE＝2∠CAE＝30°，∴∠BOE＝90°，∴的长＝＝π．11．（2018•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF＝时，求⊙O的半径．解：（1）结论：DF是⊙O的切线．理由：作OG⊥DF于G．连接OE．∵BD＝DC，BO＝OA，∴OD∥AC，∴∠ODG＝∠DFC，∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，∴△OGD≌△DCF（AAS），∴OG＝CD，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE∥BC，∵OD∥CE，∴四边形CDOE是平行四边形，∴CD＝OE，∴OG＝OE，∴DF是⊙O的切线．（2）∵FA，FD是⊙O的切线，∴FG＝FE，设FG＝FE＝x，∵△OGD≌△DCF（AAS），∴DG＝CF＝，∴OD＝DF＝+x，∵AC＝2OD，CE＝OD，∴AE＝EC＝OD＝+x，∵∠A＝30°，∴CD＝OE＝，在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，∴（+x）2＝（）2+（）2，解得x＝﹣或﹣﹣（舍弃），∴OE＝＝1．方法二：设半径是r，則DF＝OD＝√3r，在三角形DCF中，由勾股定理得，r＝1．12．（2018•辽阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．解：（1）连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°+∠A，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线；（2）∵A B是⊙O的直径，∴∠A CB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．13．（2018•广元）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F 是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，∵∠C＝∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，∴直线PA是⊙O的切线．（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，∵⊙O的半径为4，DM＝1，∴OA＝2OF＝8，CD＝DM＝，∴OD＝OC﹣CD＝4﹣，∴AD＝OA+OD＝8+4﹣＝12﹣，在Rt△ADP中，DP＝AD•tan30°＝（12﹣）×＝4﹣1，∴PM＝PD﹣DM＝4﹣2．（3）如图2中，由（2）可知：BF＝BC＝4，FC＝BF＝4，CM＝2DM＝2，CD＝，∴FM＝FC﹣CM＝4﹣2，①当△CDH∽△BFM时，＝，∴＝，∴DH＝②当△CDH∽△MFB时，＝，∴＝，∴DH＝，∵DN＝＝，∴DH＜DN，符合题意，综上所述，满足条件的DH的值为或．14．（2018•济南）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AB＝6，求PD的长度．解：（1）方法一：如图1，连接AD．∵BA是⊙O直径，∴∠BDA＝90°．∵＝，∴∠BAD＝∠C＝60°．∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°．方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣120°）＝30°．即∠ABD＝30°．（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，∴DA＝BA＝×6＝3．∴BD＝DA＝3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝，∴cos30°＝＝．∴BP＝4．∴PD＝BP﹣BD＝4﹣3＝．15．（2018•毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若tan C＝，AC＝8，求⊙O的半径．证明（1）如图：连接OE，BE∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C+∠A∴∠C＝∠A∴BC＝AB，∵BC是直径∴∠CEB＝90°，且AB＝BC∴CE＝AE，且CO＝OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半径∴EG是⊙O的切线（2）∵AC＝8，∴CE＝AE＝4∵tan∠C＝＝∴BE＝2∴BC＝＝2∴CO＝即⊙O半径为16．（2018•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG 于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若＝，求∠E的度数；（3）连结AD，在（2）的条件下，若CD＝2，求AD的长．证明：（1）连接OC，∵OC＝OB，BC平分∠ABD，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∴∠BDC＝∠ECO，∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°，∴∠ECO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）由（1）知，OC∥BD，∴∠OCF＝∠DBF，∠COF＝∠BDF，∴△OCF∽△DBD，∴，∵＝，∴，∵OC∥BD，∴△EOC∽△EDB，∴，∴，设OE＝2a，EB＝3a，∴OB＝a，∴OC＝a，∵∠OCE＝90°，OC＝OE，∴∠E＝30°；（3）∵∠E＝30°，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE，∴∠EBD＝60°，∠OBC＝∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BC＝4，BD＝6，∵，∴OC＝4，作DM⊥AB于点M，∴∠DBM＝90°，∵BD＝6，∠DBM＝60°，∴BM＝3，DM＝3，∵OC＝4，∴AB＝8，∴AM＝5，∵∠DMA＝90°，DM＝3，∴AD＝＝．17．（2018•德阳）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点H是△ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．（1）求证：DH＝DB；（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE＝1，圆O的直径为5．①求证：EF为圆O的切线；②求DF的长．解：（1）证明：连接HB，∵点H是△ABC的内心，∴∠DAC＝∠DAB，∠ABH＝∠CBH，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DHB＝∠DAB+∠ABH＝∠DAC+∠CBH，∵∠DBH＝∠DBC+∠CBH，∴∠DHB＝∠DBH，∴DH＝DB；（2）①连接OD，∵∠DOB＝2∠DAB＝∠BAC∴OD∥AC，∵AC⊥BC，BC∥EF，∴AC⊥EF，∴OD⊥EF，∵点D在⊙O上，∴EF是⊙O的切线；②过点D作DG⊥AB于G，∵∠EAD＝∠DAB，∴DE＝DG，∵DC＝DB，∠CED＝∠DGB＝90°，∴△CDE≌△BDG，∴GB＝CE＝1，在Rt△ADB中，DG⊥AB，∴∠DAB＝∠BDG，∵∠DBG＝∠ABD，∴△DBG∽△ABD，∴，∴DB2＝AB•BG＝5×1＝5，∴DB＝，DG＝2，∴ED＝2，∵H是内心，∴AE＝AG＝4，∵DO∥AE，∴△OFD∽△AFE，∴，∴，∴DF＝．。