南阳市一中2020年秋期高三第二次月考
理数参考答案
一、单选题
1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题
13．314．315．√216．①③ 三、解答题
17．（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5
3
11536427110008-⎧⎫
⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣
⎦⎩⎭
152
13
3
523
3
431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg3
11231lg 0.6lg 21lg lg 22410
++=
=
⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 3
11lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3
++=
==++-++.
18．（1）因为奇函数定义域关于原点对称，所以230a b --+=.
又根据定义在0x =有定义，所以()00
210021
a f ⋅-==+，解得1a =，1
b =. （2）[]3,3x ∈-，令()21
21
x x f x t -==+，7799t ⎛⎫
-≤≤
⎪⎝⎭
则方程()()2
0f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解等价于
20t t m +-=7
79
9t ⎛⎫
-≤≤
⎪⎝⎭
有解 也等价于2
y t t =+7
79
9t ⎛⎫
-
≤≤ ⎪⎝⎭
与y m =有交点. 画出图形根据图形判断：
由图可知：1112481
m -
≤≤时有交点，即方程()()20f x f x m +-=⎡⎤⎣⎦有解. 19．（1）令()2ln g x x x =-，则'2()1g x x
=-，当2x e ≥时，'
()0g x >，
故()g x 在2
[e ,)+∞上单调递增，所以2
2
()(e )e 40g x g ≥=->， 即2ln x x >，所以2x e x >. （2）由已知，()2222(e )()()e
1e e 1x x x x
f x ax a ax x ==---++，
依题意，()f x 有3个零点，即2
e 0x
ax -=有3个根，显然0不是其根，所以2e
x a x
=
有3个根，令2e ()x h x x
=，则'
3
e (2)()x x h x x -=，当2x >时，'()0h x >，当02x << 时，'
()0h x <，当0x <时，'
()0h x >，故()h x 在
(0,2)单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上 单调递增，作出()h x 的图象，易得2e 4
a >. 故实数a 的取值范围为2e
(,)4
+∞.
20．解：（1）()()2x
f x ax a e =-+'，
当0a =时，()20x
f x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.
当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2a
x a
->. ∴()f x 的单调递减区间为2,
a a -⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->
；令()0f x '>，得2a
x a
-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭.
（2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意. 当0a <时，()()()()
2
2
2
22222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.
当1a ≥时，()()20x
f x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，
∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,
a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，
∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫
=<=
⎪⎝⎭
，故01a <<不满足题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.
21．（1）()e sin x f x x '=-，令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos x
g x x '=-.
当[)0,πx ∈时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；当[)π,x ∈+∞时，()π
e 10g x '≥->.
故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1. （2）令()e cos 2x
h x x ax =+--，()e sin x
h x x a '=--，则本题即证当π
2
x ≥-
时，()0x h x ⋅≥恒成立.
当1a ≤时，若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故
()()00h x h ≥=恒成立，即()0x h x ⋅≥恒成立；
若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则()e cos x h x x ''=-，()e sin x
h x x '''=+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，又()01h '''=，π2πe 102h -⎛
⎫'''-=-< ⎪⎝⎭
，故存在唯一0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '''=.
当0π,2x x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数.。