河南省南阳一中2021届高三数学上学期第一次月考（8月）试题一：选择题（每小题5分，共60分） 1.函数x x y 412-+=的最小值是（ ）A.1B.21 C.41D.2 2.函数)1(42≥+=x x x y 的最小值是（ ） A.5 B. 4 C.3 D.23.函数)12(-x f 的定义域是]2,1[，则函数)1(+x f 的定义域是（ ）A.]3,1[B. ]42[，C.]10[，D.]2,0[4.函数)(x f 满足x x f x f =--)1(2)(，则函数)(x f 等于（ ）A.32-x B. 32+x C.1-x D.1+-x 5.函数),3[,1223)(+∞∈++=x x x x f 的值域是（ ） A. ),711[+∞ B. ),23[+∞ C.)2,711[ D.]711,23（6.函数⎩⎨⎧≥<-+=.2,log ,2,4)21()(x x x a x a x f a是R 上的增函数，则实数a 的范围是（ ）A. ]2,1(B. ),21(+∞ C.)2,21( D.),1+∞（7.已知函数)(x f 的值域是]5,1[，则)(52)()(x f x f x g -+=的值域是（ ） A. ]8,4[ B. {}5 C.]6,5[ D.]6,4[8.函数)(x f 是R 上的奇函数，且函数())1(+=x f x g 是R 上的偶函数，则函数)2020(f 等于 （ ） A. 1- B. 1 C.0 D.20209.函数)1(lg )(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则实数m 的范围是（ ） A.]4,0[ B. )4,0( C.),4()0,(+∞-∞ D.)4,0[ D10.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．函数()21||21()log 112x f x x =+--，则使得()(21)f x f x ≤-成立的x 取值范围是（ ）A ． (,1]-∞B ． 111[,)(,1]322⋃ C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦12.设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A ．7[,)6-+∞B ．5[,)3-+∞C ．5[,)4-+∞ D ．4[,)3-+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数2)1()1lg()(-++=x x x x f 的定义域为14.函数1)13()(2+-+=x a ax x f 的值域为R ，则实数a 的范围是15. 已知函数)3(ln )(2+-=ax x x f 在]4,3[上是增函数，则实数a 的范围是16．若函数()22f x x x a =-+在()0,2内有两个零点，则a 的取值范围是______．三：解答题（共70分）17．（10分）已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.18. （12分）已知函数21()12x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若对任意实数，不等式[]()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.19．（12分）已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值.20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.21．（12分）已知函数()()217g x x m x m =--+-.（1）若函数()g x 在[]2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的范围22．（12分）已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性．高三2020年秋期第一次月考数学学科试卷 一：选择题（每小题5分，共60分）1---5：B C D A D 6----10：A C C D B 11--12：B D 二：填空题13：{}101≠≠->x x x x 且且:14：{⎭⎬⎫≤≤≥9101a a a 或:15：)4,(-∞:16：{|01}a a << 三：解答题17．已知函数()()210f x x a x a =++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞.又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.18.已知函数21()12x xa f x ⋅-=+是R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明()f x 的单调性；（3）若对任意实数，不等式[]()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.解：（Ⅰ）∵()f x 为R 上的奇函数，∴()00f =，即102a -=，由此得1a =;经检验符合题意，故1a =（Ⅱ）由（1）知()21212121x x xf x -==-++∴()f x 为R 上的增函数. 证明，设12x x <，则()()12211222221121212121x x x x f x f x ⎛⎫-=---=- ⎪++++⎝⎭ ∵12x x <，∴212202121x x -<++，∴()()12f x f x <∴()f x 为R 上的增函数.法二：0)12(22ln 2)(2>+⋅='x xx f ∴()f x 为R 上的增函数. （Ⅲ）∵()f x 为R 上的奇函数∴原不等式可化为()()3f f x f m ⎡⎤>--⎣⎦，即()()3f f x f m ⎡⎤>-⎣⎦ 又∵()f x 为R 上的增函数，∴()3f x m >-， 由此可得不等式()23421xm f x <+=-+对任意实数x 恒成立 由2202110221x xx >⇒+>⇒<<⇒+ 22202442121x x-<-<⇒<-<++∴2m ≤.即]2,(-∞19．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 【详解】（1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当21x <-时，()135122,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，()15222x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立，当2x >时，()13522,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去，则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）设集合M 中元素的最大值为2t =，即111423a b c++=.又因为22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以即2993a b c++的最小值14，当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 20．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(1,0)P -，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值.解：（Ⅰ）由223cos 193x x y y αα=⎧⎪⇒+=⎨=⎪⎩,所以曲线的普通方程为22193x y +=由sin()sin cos cos sin 142442y x πππρθρθρθ-=⇒-=⇒-= 所以直线的直角坐标方程1y x =+（Ⅱ）由（Ⅰ）知,点-1,0P （）在直线l 上,可设直线l的参数方程为1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入22193x y +=得2280,2640t --=∆=+>设,A B 两点对应的参数分别是12,t t ,则121242t t t t +==-由参数的几何意义得12PA PB t t +=-==,所以PA PB +=21．已知函数()()217g x x m x m =--+-.（1）若函数()g x 在[]2,4上具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，求实数m 的取值范围.【详解】(1)()g x 的对称轴的方程为12m x -=，若函数()g x 在[]2,4上具有单调性， 所以122m -≤或142m -≥，所以实数m 的取值范围是5m ≤或9m ≥. （2）若在区间[]1,1-上，函数()y g x =的图象恒在29y x =-图象上方，则()21729x m x m x --+->-在[]1,1-上恒成立，即()2120x m x m -+++>在[]1,1-上恒成立，设()()212f x x m x m =-+++，则()min 0f x >，当112m -≤-，即3m ≤-时，()()min 1240f x f m =-=+>，此时m 无解， 当1112m --<<，即31m -<<时，()2min 11702424m m f x f m +⎛⎫==-++> ⎪⎝⎭，此时11m -<<，当112m -≥，即1m ≥时，()()min 120f x f ==>，此时1m ≥，综上1m ≥-22．已知函数21()(1)(12)ln (0)2f x ax a x a x a =+-+->． （1）若2x =是函数的极值点，求a 的值及函数()f x 的极值； （2）讨论函数的单调性． 详解：（1）∵()()2112f x ax a =+- ()12ln x a x +-， ∴()()()1210af x ax a x x-=++'->， 由已知()()122212a f a a -=+-+' 1202a =-=，解得14a =， 此时()2131ln 842f x x x x =-+， ()131442f x x x =-+' ()()124x x x--=，当01x <<和2x >时， ()0f x '>， ()f x 是增函数，当12x <<时， ()0f x '<， ()f x 是减函数，所以函数()f x 在1x =和2x =处分别取得极大值和极小值，()f x 的极大值为()1351848f =-=-，极小值为()13112ln2ln212222f =-+=-.（2）由题意得()()121a f x ax a x -=+-+' ()()2112ax a x a x+-+-=()()1210a a x x a x x-⎛⎫-- ⎪⎝⎭=>， ①当120a a -≤，即12a ≥时，则当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减； 当1x >时 ,()0f x '>,()f x 单调递增．②当1201a a -<<，即1132a <<时，则当120ax a-<<和1x >时,()0f x '>， ()f x 单调递增；当121ax a-<<时,()0f x '<,()f x 单调递减．③当121a a ->，即103a <<时，则当01x <<和12ax a->时，()0f x '>,()f x 单调递增；当121ax a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减．④当121a a -=，即13a =时，()0f x '≥，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增． 综上：①当103a <<时，()f x 在区间121,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1和12,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②当13a =时，()f x 在定义域()0,+∞上单调递增；③当1132a <<时， ()f x 在区间12,1a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间120,a a -⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增；④当12a ≥时 ()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间（1,+∞）上单调递增．。