苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二） 2012.5 数学I （正题） 一．填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在相应位置上.
1.设集合(]1,1-=A ,()2,0=B ,则=B A Y .
2.若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位）,则=z .
3.已知双曲线)0(13
2
2>=-m y m x 的一条渐近线方程为x y 23=,则m 的值为 . 4.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8,9,10,10,8,则该组数据的方差=2s .
5.如图,边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的）,则该点落在半圆内的概率为 .
6.已知4张卡片（大小,形状都相同）上分别写有1,2,3,4,从中任取2张,则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .
7.等比数列{}n a 中,若33=a ,246=a ,则8a 的值为 .
8.已知钝角α满足53cos -
=α,则)42tan(πα+的值为 . 9.已知函数⎩
⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 . 10.已知点P 在ABC ∆所在平面内,若AB PC PB PA 3432=++,则PAB ∆与PBC ∆的面积的比值为 .
11.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题：
（1）若βα//,β⊂m ,α⊂n ,则n m //；
（2）若βα//,β⊥m ,α//n ,则n m ⊥；
（3）若βα⊥,α⊥m ,β//n ,则n m //；
（4）若βα⊥,α⊥m ,β⊥n ,则n m ⊥.
上面命题中,所有真命题的序号为 .
（1）在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上,点P 在x 轴上的射影为
M .若点P 在直线0=-y x 的下方,当MP
OM OP -2
取得最小值时,点P 的坐标为 .
（2）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左顶点为A ,上顶点为B ,右焦点为F .设线段AB 的中点为M ,若022≥+•,则该椭圆离心率的取值范围为 .
（3）设实数6≤n ,若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立,则n m n m 34
4-的最小值为 .
二．解答题：本大题共六小题,共计90分.请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图,在四边形ABCD 中,已知13=AB ,10=AC ,5=AD ,65=
CD ,.50=•AC AB
（1）求BAC ∠cos 的值；
（2）求CAD ∠sin 的值；
（3）求BAD ∆的面积.
（1）如图,在三棱锥ABC S -中,平面EFGH 分别与BC ,CA ,AS ,SB 交于点E ,F ,G ,H ,且⊥SA 平面EFGH ,AB SA ⊥,.FG EF ⊥
求证：（1）//AB 平面EFGH ；
（2）EF GH //；
（3）⊥GH 平面SAC .
（2）如图,已知矩形油画的长为a ,宽为b .在该矩形油画的四边镶金箔,四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为x ,上下两边金箔的宽为y ,壁画的总面积为.S
一． 用x ,y ,a ,b 表示S ；
二． 若S 为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ,y 的值.
16.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆64:22=+y x O ,圆1O 与圆O 相交,圆心为)0,9(1O ,且圆1O 上的点与圆O 上的点之间的最大距离为.21
18.求圆1O 的标准方程；
19.过定点),(b a P 作动直线l 与圆O ,圆1O 都相交,且直线l 被圆O ,圆1O 截得的弦长分别为d ,1d .若d 与1d 的比值总等于同一常数λ,求点P 的坐标及λ的值.
15.已知a 为正实数,函数x e x
a x a x f ⋅+-=)(（e 为自然对数的底数）. 19.若)1()0(f f >,求a 的取值范围；
20.当2=a 时,解不等式1)(<x f ；
21.求函数)(x f 的单调区间.
20.已知数列{}n a 的前三项分别为51=a ,62=a ,83=a ,且数列{}n a 的前n 项和n S 满足
222)()(21m n S S S m n m n --+=+,其中m ,n 为任意正整数. 11.求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
12.求满足22332
3k a S n n =+-
的所有正整数k ,n .
苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）
数学Ⅱ（附加题）
（1）选做题
A .选修14-：几何证明选讲
如图,自⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PC 和割线PBA ,点C 为切点,割线PBA 交⊙O 于A ,B 两点,点O 在AB 上.作AB CD ⊥,垂足为点.D
求证：DC
BD PA PC =.
B .选修24-：矩阵与变换
设a ,R b ∈,若矩阵⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-=b a A 10把直线42:-=x y l 变换为直线12:'-=x y l ,求a ,b 的值.
C .选修44-：坐标系与参数方程 求椭圆1916:
2
2=+y x C 上的点P 到直线01843:=++y x l 的距离的最小值.
D .选修54-不等式选讲
已知非负实数x ,y ,z 满足4
1332222=+++++z y x z y x ,求z y x ++的最大值.
（2）如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,4=AB ,2=AD ,21=AA ,F 是棱BC 的中点,点E 在棱11D C 上,且11EC E D λ=（λ为实数）. （1）当3
1=λ时,求直线EF 与平面AC D 1所成角的正弦值的大小； （2）求证：直线EF 不可能与直线EA 垂直.
23.记)()(),(n n n n y x y x y x f +-+=,其中x ,y 为正实数,+∈N n .给定正实数a ,b 满足
1
-=
b b a .用数学归纳法证明：对于任意正整数n ,).2,2(),(n n f b a f ≥。