《高中数学研究性学习案例》
分组问题 二项式定理 多项式定理
1．固定分组问题
例1 将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种： （1）4位学生每人3本；
（2）甲、乙各得4本，丙、丁各得2本； （3）甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本．
解 （1）先从12本书中选取3本分给甲，有3
12C 种方法；当甲分
得3本书后，从剩下的9本书中选取3本分给乙，有39C 种方法；类似可得,丙、丁的分法分别有36C 、33C 种,由乘法原理得所求分法共有
3
12
C 39C 36C 33C =4
)!3(!
12=369600种； （2）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为
48412C C 2224C C =
!
2!2!4!4!
12⋅⋅⋅=207900； （3）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为
47512C C 1123C C =
!
1!2!4!5!
12⋅⋅⋅=83160． 在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的
本数，我们称之为固定分组问题．我们将这个问题总结成如下一般定理：
定理1 将n 个不同的元素分成带有编号从1，2，…，r 的r 个
组：1A ，，，
2A r A ，使得1A 有n 1个元素，2A 有2n 个元素，…，r A 有r n 个元素，n n n n r =+++ 21，则不同的分组方法共有
!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ 种．
证明 先从n 个不同的元素中选取n 1个分给1A ，这一步有1
n n C 种方
法；再从剩下的1n n -个元素中选取2n 个分给2A ，这一步有21
n n n C -种方法；
如此继续下去，最后剩下的r n 个元素分给r A ，有r r
n n C 种方法，由乘法
原理得这样的固定分组方法共有1
n n C 21n n n C -…r
r
n n C =
!
!!!
21r n n n n 种．证毕．
我们将定理1的分配问题简称为（r n n n n ，，
，； 21）固定分组问题．
2．不尽相异元素的全排列 多项式定理
固定分组数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ 有多种组合学意义，除了表示固定分组的
方法数外，它还有以下两种表示意义：
（1）不尽相异元素的全排列种数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅
有r 类元素，其中第k 类元素有k n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，不同类元素互不相同，n n n n r =+++ 21。

则这r 类n 个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数
!
!!!
21r n n n n 。

．
例2 （06年高考江苏卷（理））今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）．
解 9个球排成一列要占9个位置，从9个位置中选取2个放红球，有29C 种方法；再从其余7个位置中选取3个放黄球，有37C 种方法；最后在剩下的4个位置上全放白球，有44C 种方法，由乘法原理得所
求的排列方法共有29
C 37
C 44
C =!
4!3!2!9⋅⋅=1260种．
评注：对于固定分组数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ ，除了表示固定分组的方法数
外，它还表示r 类共n 个（不尽相异）元素的全排列数，其中第k 类元素有
k
n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，
n n n n r =+++ 21．
（2）多项式定理的系数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ 在n r x x x ）（+++ 21的展开式中，项r n
r n n x x x 2121的系数等于固定
分组数!
!!!21r n n n n 。

例如在
n
b a ）（+的展开式中，项m n m b a -的系数
为
)!
(!!
m n m n -=m n C ，这正是我们所熟悉的二项式系数。

有如下的多项式
定理：
多项式定理 设n 是正整数，则对一切实数 x 1 ，x 2，……，x r 有
!
!!!
212121r n n n n n
r n n n n x x x r ∑=+++=
+++）（r
n r n n x x x 2
121 （*）
其中求和是对满足方程 n 1+n 2+……n r = n 的一切非负整数n 1，
n 2，……，n t 来求。

因为r 元方程n 1+n 2+……n r = n 的非负整数共有
n r n C 1-+组，所以在n
r
x x x ）（+++ 21的展开式中共有n r n C 1-+个不同的项。

多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令r = 2 就得到了二项式定理 。

例3 写出10
)
(w z y x +++的展开式中项
w z y x 2
34与项
2233w z y x 的系数．
解 先求项w z y x 2
34的系数．10)(w z y x +++是10个括号的连
乘积，将这10个括号看成10个元素，从中先取出4个括号作为第一组，在每个括号中都取x ；再从剩下的6个括号中取出3个作为第二组，在每个括号中都取y ；再从剩下的3个括号中取出2个作为第三组，在每个括号中都取z ；最后的剩下的1个括号作为第四组，从中
取w ．这样取出的4个x ，3个y ，2个z ，1个w 的连乘积就是项w z y x 2
34，
由定理1知，上述取法就是（10；4，3，2，1）固定分组问题，于是
在展开10个括号的连乘积时，项w z y x 2
3
4
有!
1!2!3!4!10⋅⋅⋅=12600个同类
项，所以此项的系数是
12600．同理可得项
2233w z y x 的系数是!
2!2!3!3!
10⋅⋅⋅=25200．
例4 （94年全国高考题）有甲、乙、丙三项不同的任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选取4人担任这三项工作，有多少种不同的分配方法
解：从10人中选取4人，有种方法，4
10C 对于取定的4人，让他们
担任这三项工作，为（4；2，1，1）固定分组问题，故所求分配方法
共有2520!
1!1!2!
44
10=⋅⋅⨯
C 种． 注：一般地，设有1A 、2A 、…，r A 共r 项不同的工作，工作i A 需
i n 个人承担（), ,2 ,1r i =，n n n n r =+++ 21，现从m 个人中选取n 个
人做这r 项工作（n m ≥），则不同的分配工作方法共有!
!!!21r n m
n n n n C ⨯种．
例5 （07年全国高考理2（必修+选修Ⅱ））从5位同学中选派4
位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
（A ）40种 （B ）60种 （C ）100种 （D ）120种
解 从5人中选取4人，有种方法；45C 对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，为（4；2，1，1）固定分组问题，由定理1及
乘法原理得所求选派方法共有601
112
2445=C C C C 种．故选B ． 例6 （06年高考天津卷（理））将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种
解 放球方法即分组方法．满足条件的放球方法可分成两类：①（4；1，3）固定分组问题；②（4；2，2）固定分组问题，它们分别有
!
3!1!
4⋅，!2!2!4⋅种放球方法，故所求放球方法共有!3!1!4⋅+!
2!2!4⋅=4+6=10种．故选A ． 评注：对于类似例3这样的不能直接按固定分组解决的问题，如果能够按各个组（盒子）允许放的元素（球数）将问题分成互不相交的若干类，使得每一类都是固定分组问题，则可按固定分组分别计算这些类再相加即可．
例7 （07年全国高考1（文））甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
（A ）36 种 （B ）48 种 （C ）96 种 （D ）192种
解 因每人都是从4门课程中选课，故甲、乙、丙3人的选课方法分别有343424C C C 、、种，由乘法原理得所求选修方案共有343424C C C =96种．故选C.
例8（08年湖北理6题）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
.300 C 解：用“捆绑法”可得所求结果为
！！ 32
1 3232535
C C C =60+90=150
选D 。