a11 a A 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
b [b1 , b2 , , bm ]T C [c1 , c 2 , , c n ]
二、线性规划的标准形式
（一）线性规划的题的数学模 型转化为标准形式，即在约束条件：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
而且使：
z cij xij min
i 1 j 1
m
n
资源利用问题
假设某地区拥有 m 种资源，其中，第 i 种资 源在规划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m 种资源可用来生产n种产品，其中，生产单位数 量的第 j 种产品需要消耗的第 i 种资源的数量为 aij(i=1，2，…，m；j=1,2, …,n)，第j种产品的单 价为cj(j=1，2， …，n)。试问如何安排这几种产 品的生产计划，才能使规划期内资源利用的总 产值达到最大?
运输问题
假设某种物资（譬如煤炭、钢铁、石油等） 有m个产地，n个销地。第i产地的产量为ai （i=1，2，…，m），第j 销地的需求量为 bj(j=1, 2，…，n)，它们满足产销平衡条件
a b 。
i 1 i j 1 j
m
n
如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij， 要使总运费达到最小，可这样安排物资的调 运计划：
第五章 线性规划方法
线性规划及其单纯形求解方法
线性规划的对偶理论
运输问题的求解方法——表上作业法
线性规划是运筹学中发展较快、应用较广和 比较成熟的一个分支。它在实际应用中日益 广泛与深入,已经被广泛地应用到工业、农业、 商业与交通运输规划，工程技术的优化设计， 以及企业管理等各个领域。 在地理学领域，线性规划，作为传统的计量 地理学方法之一，是解决有关规划、决策和 系统优化问题的重要手段。
xj≥0（j = 1，2，…，n）
下，求一组未知变量xj（j = 1，2，…，n）的 n 值，使
Z c j x j max
j 1
其缩写形式为：在约束条件
a
j 1
n
ij
x j bi (i 1,2,, m)
x≥0（j = 1，2，…，n）
下，求一组未知变量（j = 1，2，…，n）的值， 使得： n
设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则 上述资源问题就是： 求一组实数变量xj(j=1，2，…，n)，使其满足
n aij x j bi (i 1,2,, m) j 1 x 0 ( j 1,2,, n) j
Z c j x j max
n aij x j bi (i 1,2,, m) j 1 x 0 ( j 1,2,, n) j
Z x j min
j 1
n
（二）线性规划的数学模型
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征：
①每一个问题都用一组未知变量（ x1 ， x2 ， … ， xn ）表示某一规划方案，其一组定值代表一个 具体的方案，而且通常要求这些未知变量的取 值是非负的。
②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按 照研究问题的不同，常常要求目标函数取最大 或最小值；二是约束条件，它定义了一种求解 范围，使问题的解必须在这一范围之内。 ③每一个问题的目标函数和约束条件都是线性 的。
由此可以抽象出线性规划问题的数学模型， 一般形式为： 在线性约束条件
a x
j 1
n
ij j
Z c j x j max
j 1
常记为如下更为紧凑的形式：
n max Z c j x j j 1 或 n aij x j bi (i 1,2, , m) j 1 x 0( j 1,2, n) j
设xij表示由产地i供给销地j 的物资数量，则上述 问题可以表述为： 求一组实值变量xij(i=1，2，…，m；j=1，2，…， n)，使其满足：
m xij b j ( j 1,2, , n) i 1 n xij a i (i 1,2, , m) j 1 x 0(i 1,2, , m; j 1,2, , n) ij
(, )bi (i 1,2,, m)
以及非负约束条件 xj≥0（j=1，2，…，n） 下，求一组未知变量xj (j=1，2，… ，n)的值， 使
Z c j x j max(min)
j 1 n
采用矩阵形式可描述为： 在约束条件 AX≤(≥，＝)b X≥0 下，求未知向量 ，使得 X →max(min) [ x1 , x2 ,, xn ]T Z=CX 其中
j 1
n
合理下料问题
用某种原材料切割零件A1，A2, …,Am的毛 坯，现已设计出在一块原材料上有B1，B2，…， Bn种不同的下料方式，如用Bj下料方式可得Ai 种零件aij个，设Ai种零件的需要量为bi个。试问 应该怎样组织下料活动，才能使得既满足需要， 又节约原材料？
设采用Bj方式下料的原材料数为xj，则上述问题 可表示为： 求一组整数变量xj(j=1，2，…，n)，使得
第一节 线性规划及其单纯形求解方法
线性规划的数学模型 线性规划的标准形式 线性规划的解及其性质 线性规划问题的求解方法——单纯形法 应用实例: 农场种植计划模型
一、线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
线性规划研究的两类问题： ▲某项任务确定后，如何统筹安排，以最少的人 力、物力和财力去完成该项任务； ▲面对一定数量的人力、物力和财力资源，如何 安排使用，使得完成的任务最多。它们都属于最 优规划的范畴。 以下为一些实例。