AX ≤(或=,≥) b
st .
C=（c1 , c2 , … … , cn ）
A=
a11 a12 a21 a22
… a1n … a2n
表 达
X≥ 0
am1 am2
amn
矩阵A称为约束方程组（约束条件）的系数矩阵。
…
… …
§2 图 解 法
对于只有两个决 例2-1.目标函数：
策变量的线性规划问
Max z = 50 x1 + 100 x2
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件
• 一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn
s.t.
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn
产品
1 2 3
资源/h
单位利润
技术服务 劳动力 行政管理 /元
1
10
2
10
1
4
2
6
1
5
6
4
• 解：设三种产品的生产量分别为x1、x2、x3。 • 线性规划模型为： • Max z=10x1+6x2+4x3 • S.t. x1+x2+x3≤100 • 10x1+4x2+5x3 ≤600 • 2x1+2x2+6x3 ≤300 • x1,x2,x3≥0
线性规划模型的组成： •决策变量 用符号来表示可控制的因素 •目标函数 Max F 或 Min F •约束条件 s.t. (subject to) 满足于
§1 问题的提出
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
例2 M&D公司生产两种产品A和B，基于对现有的存 储水平和下一个月的市场潜力的分析，M&D公司管 理层决定A和B的总产量至少要达到350千克，此外， 公司的一个客户订了125千克的A产品必须首先满足。 每千克A、B产品的制造时间分别为2小时和1小时， 总工作时间为600小时。每千克A、B产品的原材料 成本分别为2$和3$。确定在满足客户要求的前提下， 原材料成本最小的生产计划。
st.
……
an1x1 + a2nx2 + … … + annxn ≤ (或=,≥) bm
x1，x2 ， … … ，xn ≥ 0
决策 变量
xj称为该问题的决策变量。
c 价值 在目标函数中xj的系数 j称为
系数 该决策变量的价值系数。
技术系 数或工 艺系数
aij 称为该问题的技术
系数或工艺系数。由所有
aij组成的矩阵称为约束 方程的系数矩阵。
2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
• 一家工厂制造三种产品，需要三种资源：技术服务、 劳动力、行政管理。下表列出了三种单位产品对每 种资源的需要量。今有100h的技术服务，600h的劳 动力和300h的行政管理时间可供使用。试确定能使 总利润最大的产品生产量的线性规划模型。
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用 • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 • 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最
大 • 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 • 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
资源拥 有量
在问题中，xj的取值受m项资
b 源的约束， i称为第i项资源
的拥有量。
其它表示方式
n
简 max（min） z cjxj
化=
j 1 n
表
st . aijxj ≤ (或=,≥) bi (i=1,2, … … ,m)
示
j 1
xj ≥ 0 ( j=1,2, … … ,n)
用 max（min） z CX
向 量
=
n
Pjxj ≤(或=,≥) b
j 1
表 达
st .
X≥ 0
C=（c1 , c2 , …, cn ）
其中
X=（x1 , x2 , … … , xn）T Pj=（a1j , a2j , … … , anj）T b=（b1 , b2 , … … , bm）T
用 矩 阵
max（min） z CX =
Ⅰ
Ⅱ
资源限制
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
1 2 0 50 元
1 1 1 100 元
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划模型：
目标函数：Max 约束条件：s.t.
z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 300
题，可以在平面直角 约束条件：
坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
s.t.
x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B)
x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
解：设产品 A、B 的产量分别为x, y 。则，数学模型为：
min Z 2x 3y x 125 x y 350 2x y 600 x, y 0
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ 案；
x1
，x2
，…
，xn
），每一组值表示一个方
图解线性规划问题步骤
• 第一步，画直角坐标系 • 第二步，根据约束条件画可行域
• 第三步，画过坐标原点的目标函数线，斜率 为-c1/c2
• 第四步，确定目标函数值的增大（减小）方 向
• 第五步，让目标函数沿着增大（减小）方向 平行移动，与可行域相交且有最大（最小） 目标函数值的顶点，即为线性规划问题的最 优解，然后根据最优解求最优值。
≤ ≤
（ （
=, =,
Hale Waihona Puke ≥ ≥））bb21
…… ……
axm11，x1x+2 ，am…2 x，2 +x…n ≥+0amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm
目标函数
max（min） z = c1x1 + c2x2 + … … + cnxn
约束 条件
a11x1 + a12x2 + … … + a1nxn ≤ (或=,≥) b1 a21x1 + a22x2 + … … + a2nxn ≤ (或=,≥) b2