2、非线性规划的制约函数法
基本思想：将求解非线性规划的问题转化为一 系列无约极值问题来求解，故也称为序列无约束最 小化方法．在无约束问题的求解中，对企图违反约 束的那些点给出相应的惩罚约束，迫使这一系列的 无约束问题的极小点不断地向可行域靠近(在可行外 部)，或者一直在可行域内移动(在可行域内部)，直 到收敛到原问题的最优解为止．
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1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
表 1 股票的相关数据表
股票名称 五年期望收益 率（％）
Ａ
92
Ｂ
64
Ｃ
41
五年的协方差（％）
Ａ
Ｂ
Ｃ
180
36
110
36
120
-30
110
-30
140
试从两个方面分别给出三支股票的 投资比例：
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1. 引例：股票的组合投资问题
k
为最佳步长，由 min
f (X (k)
P(k) )
f
(X (k)
k P(k) ) 确定；
3）计算 k1 X (k1) X (k ) ， k 1 f ( X ) (k 1) f ( X (k ) ) ，
H (k1)
H (k)
k 1 T k 1
T k 1
k 1
H
(k) T
k 1
140 x32
72x1x2
220x1x3
1
60 x2 x3 ]2
12,
x1
,
x2
,
x3
0.
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二. 非线性规划的数学模型
1 . 非线性规划问题的一般模型
如果问题的目标函数和约束条件中包含有非线 性函数，则这样的规划问题称为非线性规划问题。
非线性规划的一般模型为
min
hi
f (x1, x2 ,, xn (x1, x2 ,, xn )
根据表 1 中的数据计算得到
Var(R) 180x12 120x22 140x32 72x1x2 220x1x3 60x2x3.
投资组合的标准差为
1
D [180x12 120x22 140x32 72x1x2 220x1x3 60x2x3]2 .
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1. 引例：股票的组合投资问题
第十二章 非线性规划方法
非线性规划的一般模型； 无约束线性规划的求解方法； 带约束非线性规划的求解方法； 非线性规划的软件求解方法； 非线性规划的应用案例分析。
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一、非线性规划的一般模型
1. 引例：股票的组合投资问题
一个投资者拟选择Ａ，Ｂ，Ｃ三支业 绩好的股票来进行长期组合投资．通过对 这三支股票的市场分析和统计预测得到 相关数据如下表 1 所示．
梯度法，或最速下降法．
(2)共轭梯度法 共轭梯度法仅适用于正定二次函数的极小值问题：
min f (X ) 1 X T AX BT X c 2
其中 A 为 n n 实对称正定阵， X , B E n , c 为常数．
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2、 一维搜索法
(3)牛顿（Newton）法
对于问题： min f ( X ) 1 X T AX BT X c 2
选择 k 和 P(k) 的一般原则是使
f ( X (0) ) f ( X (1) ) f ( X (k) )
这种算法称为下降算法。 最后检验 X (k) 是否收敛于最优
解，即对 0，是否有 f (X (k1) ) 决定迭代是否结束。
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三、无约束非线性规划的解法
min f (X )
一般模型形式： g j (X ) 0, j 1, 2,
（3）
,m
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二. 非线性规划的数学模型
2 . 非线性规划模型的几种特殊情况
（1）无约束的非线性规划
当问题无约束条件时，则此问题 称为无约束的非线性规划问题。
mXinR f ( X ) (4) X 0
当黑塞矩阵 2 f (X (k) ) 正定时，也可应用上面的牛顿法，这
就是拟牛顿法，
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2、 一维搜索法
(5) 变尺度法
1）任取 X (0) E n 和 H (0) （一般取 H (0) I 为单位阵），计算
P(0) H (0) f ( X (0) ), k 0 ；
2）若 f ( X (k) ) 0 ，则停止计算，否则令 X (k1) X (k) k P(k) ，其中
(1) 若目标函数为最大化问题，由 max f (X ) min[ f (X )] ， 令 F(X ) f (X ) ，则 min F(X ) max f (X ) ；
(2) 若约束条件为 g j ( X ) 0 ，则 g j ( X ) 0 ； (3） hi ( X ) 0 hi ( X ) 0且 hi ( X ) 0 。
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1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
由概率统计的知识,投资组合的方差为
Var(R) x12Var(r1) x22Var(r2 ) x32Var(r3) 2x1x2Cov(r1, r2 ) 2x1x3Cov(r1, r3) 2x2x3Cov(r2, r3) ,
f ( X ) 的一个极小点。
??问题：如何来产生这个点列？即如何由一个解向量 X (k) 求出另一个新的向量解 X (k1) ？
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1. 一般迭代法
实际上：向量 X (k1) 总可以写成
X (k1) X (k ) k P (k ) (k 1,2,) 其中 P(k) 为一个向量， k 为一个实数，称为步长。 实际中各种迭代法就在于寻求不同的 k 和 P(k) ，特别是方 向 P(k) 的确定是问题的关键，称为搜索方向。
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1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
问题（２）：希望在标准差最大不超过12%的情 况下，获得最大的收益．
根据投资者第（２）项要求，则问题的模型为
max R 0.92x1 0.64x2 0.41x3;
x1 x2 x3 1,
s.t.[180x12
120 x22
为进一步寻找最优解在它的可行下降方向中选取其一个方向
D(k) ，并确定最佳步长 k 使
X (k1) X (k)
f
(
X
(k 1)
)
f
k D(k)
(X (k) )
R ,k
0,1,2,
反复进行这一过程，直到得到满足精度要求为止。即称为
可行方向法．
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四、带约束非线性规划的解法
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二. 非线性规划的数学模型
2 . 非线性规划模型的几种特殊情况
min f (X )
一般模型形式： g j (X ) 0, j 1, 2,
（3）
,m
（3）凸规划
当 模 型 (3 ） 中 的 目 标 函 数 f (X ) 为 凸 函 数 ， g j (X )( j 1,2,, m) 均 为 凹函 数 （即 g j (X ) 为 凸 函
(1) 问题的提出
(１)希望将投资组合中的股票收益的标 准差降到最小，以降低投资风险，并希望五 年后的期望收益率不少于65%．
(２)希望在标准差最大 不超过12%的情况下， 获得最大的收益．
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1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
设 x1, x2 , x3 分别表示Ａ，Ｂ，Ｃ三支股票的
投资比例，其五年的期望收益率分别记为
r1, r2, r3 ，即为随机变量．
五年后投资组
表 1 股票的相关数据表 股票 五年期望收 五年的协方差（％）
合的总收益率为
名称 益率（％） Ａ Ｂ Ｃ
Ａ
92
180 36 110
R x1r1 x2r2 x3r3 ，
Ｂ Ｃ
64 41
36 120 -30 110 -30 140
T
k 1 k 1
H (k)
H
k 1
(k)
,
P (k 1) H (k 1) f ( X (k 1) )
4）令 k k 1; 返回 2）．
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四、带约束非线性规划的解法
1、非线性规划的可行方向法
假设 X (k) 是问题（３）的
一个可行解，但非最优解，
min f ( X ) g j ( X ) 0, j 1,2,, m （3）
当 A 为正定时，A1 存在，于是有 X * A1B 为最优解．
(4) 拟牛顿法）
对于一般的二阶可微函数 f ( X ) ，在 X (k) 点的局部有 f ( X ) f ( X (k) ) f ( X (k) )T ( X X (k) )
1 ( X X (k) )T 2 f ( X (k) )( X X (k) ) 2
（2）二次规划 如果目标函
数是 X 的二次函
数，约束条件都有 是线性的，则称此 规划为二次规划.
min f (X ) n c j x j n
n
c jk x j xk
j 1
j1 k 1
n
aij x j bi 0,i 1,2,, m
j1
x j 0, c jk ckj , j, k 1,2,, n
数），则这样的非线性规划称为凸规划。
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三、无约束非线性规划的解法