第一次1.1 画出下列各个信号的波形[式中()()r t t t ε=为斜升函数]知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括()t ε和()k ε的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。

解题方法：①首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再考虑与()t ε或()k ε结合时的变化情况；②若()t f 只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用()t ε或()k ε的性质直接画出0>t 或0≥k 部分的普通函数的波形；③若()t f 是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。

(1) ()()()t t t f εsin = 解：正弦信号周期ππωπ2122===T(2) ()()sin f t t επ=解：()0 sin 01 sin 0t f t t ππ<⎧=⎨>⎩，正弦信号周期22==ππT(3) ()()cos f t r t =解：()0 cost 0cos cos 0f t t t <⎧=⎨>⎩，正弦信号周期221T ππ==(4) ()()k k k f ε)12(+=(5) ()()()111k f k k ε+⎡⎤=+-⎣⎦1.2 画出下列各信号的波形[式中()()r t t t ε=为斜升函数]知识要点：本题主要考查阶跃函数和单位阶跃序列的性质，包括()t ε和()k ε的波形特性以及它们与普通函数结合时的波形变化特性。

解题方法：①首先考虑各信号中普通函数的波形特点，再考虑与()t ε或()k ε结合时的变化情况；②若()t f 只是普通信号与阶跃信号相乘，则可利用()t ε或()k ε的性质直接画出0>t 或0≥k 部分的普通函数的波形；若()t f 是普通函数与阶跃信号组合成的复合信号，则需要考虑普通函数值域及其对应的区间。

(1) ()()()()315122f t t t t εεε=+--+-(2) ()()()12f t r t t ε=--tt)1t-t (3)()()()()sin13f t t t tπεε=---⎡⎤⎣⎦解：22Tππ==(4) ()()()()25f k k k k εε=+--⎡⎤⎣⎦(5) ()()()241k f k k k εε=---⎡⎤⎣⎦1.3 写出下图所示各波形的表达式 (1)解：()()()()()()()()()()()2111223 211223f t t t t t t t t t t t εεεεεεεεεε=+--+-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+----+-(2)解：24T πω==2πω∴=⇒10cos 2t π⎛⎫⎪⎝⎭()()()10cos 112f t t t t πεε⎛⎫=+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭1.4 写出下图所示各序列的闭合形式的表示式 (a)解：()()3f k k ε=+ (b)解：()()()38f k k k εε=---(课堂已讲)1.5 判别下列各序列是否为周期性的，如果是，确定其周期(1) ()2cos 5f k k π⎛⎫= ⎪⎝⎭解：25πβ=25252ππβπ=⨯= 5N ∴= 周期序列(2) ()⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=632cos 443sin ππππk k k f 解：431πβ=，3834221=⨯=ππβπ，∴m 取3，81=∴N ； 322πβ=，323222=⨯=ππβπ，32=∴N ； 故24=N(3) ()⎪⎭⎫⎝⎛+=k k k f 2sin 2cos 3π解：11=β，ππβπ21221=⨯=，故非周期；22πβ=，42222=⨯=ππβπ，42=∴N ；故非周期1.6 已知信号的波形如下图所示，画出下列各函数的波形(1) ()()t2ε-2tf-)(2) ()12f t -(3)() dd f tt1.7 已知序列的图形如图所示，画出下列各序列的图形(1) ()()()24f k k k εε---⎡⎤⎣⎦(2) ()()21f k k ε-+-+1.8 信号()t f 22-的波形图如下所示，试画出()t f 和()ττd ⎰∞-t f 的波形解：由图可知：()()()()222+---=t t t t f δεε，则 当0<t 时，()()()22d 2)2(d +-=+-=⎰⎰∞-∞-t t f ttετδττ；当20≤≤t 时，()()()()()2d 22d 1 d ]222[d -=+-⋅=+---=⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-t t t t f tttt ττδττδεεττ当2>t 时，()()()()022 2d 1 2d 1 d ]222[d 2=-=-⋅=-⋅=+---=⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ττττδτετεττt ttf(课堂已讲)1.9 已知信号的波形如图所示，分别画出()f t 和()d d f t t的波形解：第二次1.10 计算下列各题()001t at t t a a δδ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()0001t t f t at t f t a a a δδ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)()()01sin d 2t t t t πδδ-∞⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 解：()()()()()()00001sin d 21 sin d sin d 2 sin 0t f t t t t tt t t t t t t πδδπδπδπ---∞∞∞=⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=++ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰(2)()()2[2]d t e t t t δδ∞--∞'+⎰解：()()()()()()()()()()()22220[2]d [2]d [22]d [22]d 044t t t tt f t e t t te t e t tt e t t t t t t t δδδδδδδδδδ∞--∞+∞---∞+∞-=-∞+∞-∞'=+'=+'=++'=++=+=⎰⎰⎰⎰(3)()2sin 3d 4t t t t πδ∞-∞⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 解：()()2232 sin 3d 4sin 433sin 439sin492t t t t t t t πδπππ∞-∞=-⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=-=-⎰(4)()()2d t x x x δ-∞'-⎰解：()()()()()()()() 2d 2d 2d d 2ttttx x xx x x x x x xt t δδδδδδε-∞-∞-∞-∞'-'=+⎡⎤⎣⎦'=+=+⎰⎰⎰⎰(5)()()()6236224d t t t t δδ--++⎡⎤⎣⎦⎰ 解：()()()()()()()()()()()()6236622336223623226224d 6d 2624d 16262d 2662d 66628t t t t t tt t t t t tt t t tt t tt δδδδδδ---=--=--++⎡⎤⎣⎦=-+-+=-+-⋅+=+-+=+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰(6)()20(2)2d tτδττ+-⎰解：()()()20202022(2)2d (2)[(2)]d (2)2d 2| ,2 (42)(2) 6(2)tttt f t t t t t τδτττδτττδττεε==+-=+--=+-=+≥=+-=-⎰⎰⎰(7)()()55342d t t t δ---⎰解：()()()()()()()()()555555552 342d 324d 132d 2132d 213212t t t t t t tt t t t t t t δδδδ----=--=--=-⋅-=--=-=-⎰⎰⎰⎰ (8)()02d 3tτδττ-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰解：()()()()()()()00002d 332d 32d 32,06t ttt t ττδττδττττδτττε---=⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-=-≥=-⎰⎰⎰(课堂已讲)1.11 设系统的初始状态为()0x ，激励为()f ⋅，各系统的全响应()y ⋅与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。

根据线性系统的定义，依次判断系统是否具有分解特性、零输入线性、零状态线性()()()()11221122T f f T f T f αααα⋅+⋅=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

(1) ()()()200cos d t ty t e x xf x x π-=+⎰解：()()20t zi y t e x -=()()0cos d tzs y t xf x x π=⎰∴()()()zi zs y t y t y t =+ 满足可分解性()()211110t zi y t e x αα-= ()()212220t zi y t e x αα-=∴()()()()()()2221122112211220000t t t zi zi y t y t e x e x e x x αααααα---+=+=+⎡⎤⎣⎦ 线性()()11110cos d tzs y t xf x x ααπ=⎰()()22220cos d tzs y t xf x x ααπ=⎰∴()()()()()()1122112211220cos d cos d cos d t t tzs zs y t y t xf x x xf x x x f x f x xαααπαππαα+=+=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰线性(2) ()()()()()10.5012k y k x f k f k +=+-- 解：()()()10.50k zi y t x +=()()()12zs y k f k f k =--∴()()()zi zs y k y k y k =+ 满足可分解性()()()111110.50k zi y k x αα+= ()()()122220.50k zi y k x αα+=()()()()()()()()()1111122112211220.500.500.500k k k zi zi y k y k x x x x αααααα++++=+=+⎡⎤⎣⎦线性()()()11111112zs y k f k f k ααα=--()()()22222212zs y k f k f k ααα=--∴()()()()()()()()()()112211112222112211221212 1122zs zs y k y k f k f k f k f k f k f k f k f k αααααααααα+=--+--≠-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦非线性∴系统非线性(课堂已讲)1.12 下列微分或差分方程所描述的系统，是线性的还是非线性的？是时变的还是不变的？(1) ()()()()()322y t y t y t f t f t ''''++=- 解：常系数、线性、微分方程 故为，线性时不变系统(2) ()()()()2111y k k y k f k +--=- 解：变系数、线性、差分方程 故为，线性时变系统1.13 设激励为()f ⋅，下列等式是各系统的零状态响应()zs y ⋅，判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的？ (1) ()()1+=t f t y zs解：()()111+=t f t y zs αα，()()122+=t f t y zs ββ，()()()()()()111212121++≠+++=+t f t f t f t f t y t y zs zs βαβαβα，∴非线性()()1+-=-d d zs t t f t t y ，∴时不变当0t t <，有()0=t f ，则()()11=+=t f t y zs ，∴非因果 若()∞<t f ，则()∞<t y zs ，∴稳定 (2) ()()2zs y t f t =- 解：()()11112zs y t f t αα=-()()22222zs y t f t αα=-()()()()1122112222zs zs y t y t f t f t αααα+=-+-，∴线性()()()22zs d d d y t t f t t f t t -=--=-+⎡⎤⎣⎦若延迟输入为()d f t t -，则系统输出为()2d f t t --∴()()22d d f t t f t t --≠-+，时变 若0t t <，有()0f t =若()()20zs y t f t =-=，则02t t -<⇒02t t >-，∴非因果若()f t <∞，则()()2zs y t f t =-<∞，∴稳定。