基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若a,b R，则a2+b22ab2）若a,b R，则ab a2+ b222、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,b R*，则a+b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若a,b R*，则a+2b ab2）若a,b R*，则ab a+b2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a = b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若x0，则x+1 2 （当且仅当x=1时取“=”）x（2）若x0，则x+1-2 （当且仅当x = -1时取“=”）x（3）若ab 0，则a + b 2 （当且仅当a = b时取“=”）ba（4）若a,b R，则ab（a+b）2a +b22（5）若a,b R*，则1ab a+b a +b1 1ab2 2ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当a = b时取“=” 6、柯西不等式（1）若a,b,c,d R，则（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）22)若a1,a2,a3,b1,b2,b 3 R，则有：(a2+a2+a2)( b2+b2+b2)(ab +a b +ab )2(3)设a1,a2,,a n与b1,b2,,b n是两组实数，则有(a12+a22++a n2)(b12+b22++b n2) (a1b1+a2b2++a n b n)2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设a,b均为正数，证明不等式: ab≥ 2 1+1 ab2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2ab + bc + ca3、已知a+b+c=1，求证：a2+b2+c 2134、已知a,b,c R+，且a+b+c=1(1-a)(1-b)(1-c ) 8abc5、已知a,b,c R+，且a+b+c=1求证：求证：6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,证明: 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域1（1） y = 3 x +（2） y = x （4 -x ）(Ⅰ) ab + bc + ca;3(Ⅱ)a 2+b 2+c 21.bca(3) y = x + 1( x0) x(4) y = x + 1( x0)x题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）41、已知x2 ，求函数y =2x -4+的最小值；2x -47、（2013 年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知ab0，求证:2a 3 -b 3 2ab 2 -a 2b变式2：已知x2 ，求函数y =2x + 4 的最大值；2x -4变式 1： 已知 x2，求函数 y =2x + 4 的最小值；2x -4练习：1、已知x 5 ，求函数 y =4x -2+ 1 的最小值； 4 4x -52、已知x5 ，求函数 y =4x -2+ 1 的最大值；44x -5变式：若0x 4，求y = x (8 - 2x ) 的最大值；1、当 时，求 y = x (8- 2x ) 的最大值； 3、求函数y = 2x -1+ 5- x 5)的最大值；(提示：平方，利用基本不等式)变式1：当时，求y =4x (8-2x )的最大值；变式：求函数y = 4x -3+ 11-4x (3 x 11)的最大值；变式2：设0x 3 ，求函数y =4x (3-2x )的最大值。
2、若0 x 2，求y = x (6-3x ) 的最大值；题型四：利用不等式求最值 (二)(凑系数)题型五：巧用“1”的代换求最值问题1、已知a,b 0,a + 2b =1，求t = 1+ 1的最小值；ab 法一：19变式4：已知x,y0，且1+9=4，求x+y的最小值；xy法二：变式1：已知a,b0,a+2b=2，求t = 1+ 1的最小值；ab28变式 2：已知x, y0, 2+ 8= 1xy求xy的最小值；变式3：已知x,y0，且1+ 1=9，求x+ y的最小值。
xy 变式 5：（1）若x,y0且2x+ y =1，求1+ 1的最小值；xy （2）若a,b,x,y R+且a+b =1，求x+ y的最小值；xy变式 6：已知正项等比数列a n满足：a7= a6+ 2a5，若存在两项a m, a n，使得a m a n = 4a1，求1+ 4的最小值；m n m n 1m n题型六：分离换元法求最值（了解）x2+ 7 x + 101、求函数y = x +7x+10(x-1)的值域；x+1题型七：基本不等式的综合应用1、已知log a+log b1，求3a + 9b的最小值x 2+ 8变式：求函数y = x +8(x 1)的值域；x - 12、求函数y= 2x x++52的最大值；（提示：换元法）变式1：（2010四川）如果a b0，求关于a,b的表达式a2+ 1+ 1的最小值；ab a（a - b）变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当a 0,a1时，函数y = log a（x -1）+1的图像恒过定点A，若点A在直线mx - y + n = 0 上，求4 m + 2 n的最小值；2、（ 2009天津）已知a,b 0 ，求1+ 1+ 2 ab的最小值；ab变式：求函数y = 4x x++91的最大值；4 、（ 2013 年山东（理））设正实数x , y , z满足x2-3xy+4y2-z=0 , 则当xy取得最大值z212时,2+ 1- 2的最大值为（）xyz9A．0 B．1 C．D．34（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）变式1：已知a, b 0 ，满足ab = a + b + 3 ，求ab范围；变式2：（2010山东）已知x,y0，2+1x+2+1y =13求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式：设x, y, z是正数，满足x - 2y + 3z = 0 ，求y的xz 最小值；变式3：（2011 浙江）已知x,y0，x2+y2+xy=1，求xy最大值；3、已知x, y 0 ，x + 2 y + 2xy = 8 ，求x + 2 y最小值；题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式(a ,b ,c ,dR , 当且仅当a = b ；即ad = bc 时等号成立) cd若a ,b ,c ,dR ，则(a 2 +b 2)(c 2 +d 2)(ac +bd )22、二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2 +b 2c 2 +d 2 ac +bd(a ,b ,c ,d R , 当且仅当a = b ；即ad = bc 时等号成立) cd(2)a 2 +b 2c 2 +d 2 ac + bd(a ,b ,c ,d R , 当且仅当a = b ；即ad = bc 时等号成立) cd(3)(a + b )(c + d ) ( ac + bd )2(a ,b ,c ,d 0, 当且仅当a = b ；即ad = bc 时等号成立)cd3、二维形式的柯西不等式的向量形式→ → → →(当且仅当= 0,或存在实数k ,使a = k 时,等号成立)4、三维柯西不等式若a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3 R ，则有：( a + a + a )( b + b + b )(a b + a b + a b )(a i ,b i R , 当且仅当a 1 = a 2 = a 3时等号成立)i i b 1 b 2 b 35、一般n 维柯西不等式设 a 1, a 2,, a n 与b 1,b 2,,b n 是两组实数，则有:(a 12+a 22++a n 2)(b 12+b 22++b n 2)(a 1b 1 + a 2b 2 + +a nb n )2(a i ,b i R , 当且仅当a 1 = a 2 =an 时等号成立)i i b 1 b 2 b n题型八：利用基本不等式求参数范围 1a1、（ 2012沈阳检测）已知x , y0 ，且（x + y ）（1+ a ）9 xy恒成立，求正实数a 的最小值；11n2、已知 xy z0 且 + 恒成立， x - y y -z x -z如果n N + ，求n 的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）14变式：已知a ,b0满则1 + 4 =2，若a +bc 恒成立，ab求c 的取值范围；题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设x,y,z R，若x2+y2+z2=4，则x-2y+2z的最小值为时，(x, y, z) =析：(x-2y+2z)2(x2+ y2+ z2)[12+ (-2)2+ 22]= 49 = 36∴ x-2y +2z最小值为-64、(2013 年湖南卷(理))已知a,b,c,a+2b+3c =6,则a2+4b2+ 9c2的最小值是( Ans:12)- 2 4 - 4 x= ，y = ，z =3 3 3 2、设x,y,z R，2x-y-2z=6，求x2+y2+z2的最 5 、( 2013年湖北卷(理))设x,y,z R , 且满足:x2+ y2+z2=1,x+2y+3z = 14 ,求x+y+z的值；小值m，并求此时x, y, z之值。
424m= 4;(x,y,z)=( ,- ,- )3、设x,y,z R，2x-3y+z =3，求x2+(y-1)2+z2 之最小值为，此时y =(析：2 x - 3 y + z = 3 2 x - 3( y - 1) + z = 0 )6、求2sin+ 3 cos sin- cos cos的最大值与最小值。
( Ans：最大值为2 2 ，最小值为-2 2)→- cos )，b = (1，sin ，cos)此时1x=-y2=2z-612+(-2)2+22-2 3Ans：→ 析：令a= (2sin ，3cos，。