初三数学第一学期期末考试试卷第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母填在下面的表格中． 1．如果532x =，那么x 的值是 A ．152 B．215 C ．103 D ． 3102．在Rt △ABC 中，∠C =90°，1sin 3A =，则B cos 等于A ．13B ．23C ．D ．33．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出１个球后放回搅匀，再次随机地摸出１个球，两次都摸到红球的概率为A ．12 B ．13 C ．19 D ．494．已知点(1,)A m 与点B (3,)n 都在反比例函数xy 3=(0)x >的图象上，则m 与n的关系是A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．不能确定 5．如图，⊙C 过原点，与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点．已知∠OBA =30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C 半径是A ．433 B ．233C ．43D ．2 6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①因为a ＞0，所以函数y 有最大值； ②该函数的图象关于直线1x =-对称； ③当2x =-时，函数y 的值等于0； ④当31x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形共有A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对8．如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别交于A 、B 两点， 边长为2的正方形OCEF 沿着x 轴的正方向移动，设平 移的距离为 (04)a a ≤≤，正方形OCEF 与△AOB 重叠 部分的面积为S ．则表示S 与a 的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）第8题321EDCBA yx-31-2第5题 第6题 第7题xC1AOB yEFaOS 2442aO S 242aO S42aO S24429．已知3tan 3α=，则锐角α的度数是 ︒．10．如图，直线EF 交⊙O 于A B 、两点，AC 是⊙O 直径，DE 是⊙O 的切线，且DE EF ⊥，垂足为E ．若130CAE ∠=︒，则DAE ∠= °． 11．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，3C 是函数y =3x 的图象，则阴影部分的面积是 ．12．如图，已知Rt △ABC 中，AC =3，BC = 4，过直角顶点C 作1CA ⊥AB ，垂足为1A ，再过1A 作11A C ⊥BC ，垂足为1C ，过1C 作12C A ⊥AB ，垂足为2A ，再过2A 作22A C ⊥BC ，垂足为2C ，…，这样一直做下去，得到了一组线段1CA ，11A C ，12C A ，…，则1CA = ，1n n n nC A A C +（其中n 为正整数）= ． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．计算： oooo245tan 30cos 30tan 60sin +⋅- 解：14．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB DC AD ===，70ABC ∠=，点E F ， 分别在线段AD DC ，上，且110BEF ∠=，若3AE =，求DF 长．解：15．已知：如图，△ABC 中，∠B =90°，5cos 7A =,BD =46,∠BDC =45°，求AC ．第10题 O ED C BA C 1A 2A 1C 2B A C 第12题 AD 第14题FED CBA第11题yxC 2C 1O C 3第17题 yx3O1解：16．如图，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于E ，交 于D （1）若BC =8，ED =2，求⊙O 的半径． （2）画出直径AB ，联结AC ，观察所得图形，请你写出两个新的正确结论： ； ．解：（1）17．已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，解决下列问题：（1）关于x 的一元二次方程20x bx c -++= 的解为 ； （2）求此抛物线的解析式和顶点坐标． 解：18．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．小慧说：抽出的两张牌的数字若都是偶数，你获胜；若一奇一偶，我获胜． （1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）若按小慧说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 解：四、解答题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）19．如图，甲船在港口P 的南偏西60方向，距港口86海里的A 处，沿AP 方向以第18题BCOE 第16题每小时15海里的速度匀速驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿南偏东45方向匀速驶离港口P ，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，1.414≈ 1.732≈ 2.236≈）解：20．已知：点P （a ，2）关于x 轴的对称点在反比例函数8(0)y x x=->的图象上，y 关于x 的函数(1)3y a x =-+的图象交x 轴于点A ﹑交y 轴于点B ．求点P 坐标和△PAB 的面积． 解：21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，A第19题第20题连结DE 、BE ，且∠C =∠BED ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若OA=AD =8，求AC 的长． 解：五、解答题（本题满分6分）22．如图1是一个供滑板爱好者滑行使用的U 型池，图2是该U 型池的横截面（实线部分）示意图，其中四边形AMND 是矩形，弧AmD 是半圆．（1）若半圆AmD 的半径是4米，U 型池边缘AB = CD =20米，点E 在CD 上，CE = 4米，一滑板爱好者从点A 滑到点E ，求他滑行的最短距离（结果可保留根号）；（2）若U 型池的横截面．．．的周长为32米，设AD 为2x ，U 型池的强度为y ，已知U 型池的强度是横截面的面积的2倍，当x 取何值时，U 型池的强度最大． 解：六、解答题（本题满分6分）O DE FBAC第21题图1 图2第22题23．已知：关于x 的一元二次方程0)12(22=-+--m m x m x(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为a 、b （其中a ＞b )，若y 是关于m 的函数，且32y b a =-,请求出这个函数的解析式；（3）请在直角坐标系内画出（2）中所得函数的图象；将此图象在m 轴上方的部分沿m 轴翻折，在y 轴左侧的部分沿y 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，动点Q 在双曲线4y m=-被新图象截得的部分（含两端点）上运动，求点Q 的横坐标的取值范围. 解：七、解答题（本题满分7分）24．（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，第23题E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；（提示：利用三角形中位线定理） （2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=︒，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．解：八、解答题（本题满分8分）25．如图所示，抛物线2)(m x y --=的顶点为A ，其中0>m ．图 1 图2 图3第24题BFB ACD EFM NO（1）已知直线l ：3y x ，将直线l 沿x 轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用含m 的代数式）后过点A ；（2）设直线l 平移后与y 轴的交点为B ，若动点Q 在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 相似，且相似比为2？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由． 解：草 稿 纸第25题 yx O A石景山区2009-2010学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．60； 10．65； 11．53π； 12．124,55． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解：oooo245tan 30cos 30tan 60sin +⋅-=12333232+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ………………………4分 =45…………………………………………………5分14．解：在梯形OBCD 中，AD ∥BC ， AB DC =，70ABC ∠=，∴180********D A ABC ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒………………………… 1分 ∴18011070DFE DEF ∠+∠=︒-︒=︒ ∵110BEF ∠=∴18011070AEB DEF ∠+∠=︒-︒=︒∴DFE ∠AEB =∠………………………………… 2分 ∴△DFE ∽△AEB ………………………………… 3分∴DF ED AE AB = …………………………………… 4分 即：336DF = 解得：32DF = ……………… 5分 15．解：在△ABC 中，∠B =90°，5cos 7A =57AB AC =,5,7AB x AC x ==……………… 1分 由勾股定理得： BC = ……………………2分A D第14题FE D CBA第16题图 1第17题yx3O 1∵∠BDC =45° ∴BD BD BC =⋅=45tan ……3分 ∵46BD = ∴2646,2x x == …………4分 ∴ 714AC x == …………………………5分16．解：（1）联结OB∵OD ⊥BC ，BC =8 ∴BE ＝CE =12BC =4……1分 设⊙O 的半径为R ，则OE =OD -DE=R -2 在Rt △OEB 中，由勾股定理得OE 2＋BE 2=OB 2，即(R-2)2＋42=R 2 ……………… 2分 解得R ＝5 ………………………………3分∴⊙O 的半径为5 （2）AC ⊥CB ，AC ∥OD ，OE =21AC 等．…………5分 注：写对一个结论给１分．17．解：（1）121,3x x =-= …………………………………1分 （2）解法一：由图象知：抛物线c bx x y++-=2的对称轴为1=x ，且与x 轴交于点()0,3∴()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-⨯-0331122c b b ………………………………3分 解得：⎩⎨⎧==32c b ……………………………4分∴抛物线的解析式为：322++-=x x y顶点（1，4） ……………5分 解法二：设抛物线解析式为()k x y+--=21 ……………2分∵抛物线与x 轴交于点()0,3∴()0132=+--k …………………3分解得：4=k…………………4分∴抛物线解析式为()412+--=x y即：抛物线解析式为322++-=x x y顶点（1，4） ..................5分 解法三：由（1）121,3x x =-=可得抛物线解析式为()()13+--=x x y (3)分整理得：抛物线解析式为322++-=x x y第16题图2东APDCB顶点（1，4） ………………5分 18．解： (1) 树状图为：……………….２分共有12种可能结果． (3)分（2）游戏公平．∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果： ∴ P （偶数）=126=21．…………………………………….4分 ∵ 两张牌的数字都是一奇一偶有6种结果 ∴ P （一奇一偶）=126=21． ∴小红获胜的概率与小慧获胜的概率相等∴游戏公平． ……………………………………………5分四、解答题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）19．解： 依题意，设乙船速度为每小时x 海里，2小时后甲船在点B 处，乙船在点C 处，2PC x = ……………………………………………1分 过P 作PD BC ⊥于Ｄ，……………………2分 ∴8621556BP =-⨯=在Rt PDB △中, 90PDB ∠=︒,60BPD ∠=°, ∴cos6028PD PB =⋅︒=……………3分 在Rt PDC △中，90PDC ∠=︒，45DPC ∠=︒，∴2cos 45222PD PC x x =⋅︒=⋅=……………………4分 228x =，即14220x =≈（海里）．答：乙船的航行速度为每小时20海里． (5)分20．解：依题意，得点P 关于x 轴的对称点为(a,-2) ……………………1分∵ 点(a,-2)在8y x=-图象上∴-2a = -8 ,即 a = 4∴P (4 , 2 ) ………………………2分把 a = 4代入(1)3y a x =-+,得33y x =-+ 令y =0，可得x =1∴交点A (1,0)令x =0，可得y =3∴交点Ｂ (０,３)……………3分 ∵S △PAB =S 梯形PCOB -S △PAC -S △AOB∴S △PAB =12(PC+OB )×OC-12P C ×PA-12O B ×OA =31032--=112 (5)分∴△PAB 的面积为112． 21．解：（1）证明：∵∠BED =∠BAD ，∠C =∠BED∴∠BAD =∠C ………………………………1分 ∵OC ⊥AD 于点F ∴∠BAD +∠AOC =90o ∴∠C +∠AOC =90o∴∠OAC =90o∴OA ⊥AC∴AC 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分 （2）∵OC ⊥AD 于点F ，∴AF =21AD =4 Rt △OAF 中，OF=22AF OA -=2………………………………3分 ∵∠OAF =∠C ∴sin ∠OAF =sin ∠C∴OF AFOA AC=即OA AFAC OF⋅== …………………………………………5分（解法二：利用相似三角形）五、解答题（本题6分）22．解：（1）如图是滑道的平面展开图在Rt △EDA 中，半圆AmD 的弧长4,20416ED π==-=… 2分ODEF BACEC B滑行的最短距离22216(4)416AE ππ=+=+ ………… 3分 （2）∵AD 为2x ∴半圆AmD 的半径为x ，则半圆AmD 的弧长为x π ∴ 3222x AM x π=++∴2162AM x π+=-+ （3204x π<<+）………………………………………… 4分∴y []22222(16)(34)6422x x x x x πππ+=-+-=-++……………………………5分∴当[]64322(34)34x ππ=-=-++时，U 型池强度最大所以当3234x π=+时，U 型池强度最大 …………………………………………6分注：2162AM x π+=-+ （3204x π<<+）中无自变量范围不扣分。