基本不等式
1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.
2.能够利用基本不等式求最大(小)值.
3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.
下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边
长分别为a,b,那么正方形的边长为√a2+b2.
问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有,当且仅当时,等号成立.
我们也可以通过作差法来证明:- =(a-b)2≥0, 所以,当且仅当a=b时取等号.
问题2:基本不等式
若a,b∈(0,+∞),则a+b
√ab,当且仅当时,等号成立.
2
问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.
(1)基本不等式的几何解释:
在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上
的.在圆中,半径不小于半弦长.
看作正数a、b的,√ab看作正数a、b
(2)如果把a+b
2
的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的.
为a、b的,称√ab为a、b
(3)在数学中,我们称a+b
2
的.因此,两个正数的不小于它们的.
问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:
(1)已知x ,y ∈(0,+∞),若积x ·y=p (定值),则和x+y 有最 值 ,当且仅当x=y 时,取“=”.
(2)已知x ,y ∈(0,+∞),若和x+y=s (定值),则积x ·y 有最 值 ,当且仅当x=y 时,取“=”.
即“积为常数, ;和为常数, ”. 概括为:一正二定三相等四最值.
利用基本不等式求最值
(1)已知x>5
4,求函数y=4x-2+
14x-5
的最小值.
(2)已知正数a ,b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围.
利用基本不等式证明不等式
已知x 、y 都是正数,求证:(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.
单调性与基本不等式 设函数f (x )=x+
a x+1
,x ∈[0,+∞).
(1)当a=2时,求函数f (x )的最小值; (2)当0<a<1时,求函数f (x )的最小值.
若函数f (x )=x+1
x-2(x>2)在x=a 处取最小值,则实数a 的值为( ).
A .1+√2
B .1+√3
C .3
D .4
参考答案 知识体系梳理
问题1:a 2+b 2 2ab a 2+b 2≥2ab a 2+b 2≥2ab a=b a 2+b 2 2ab a 2+b 2≥2ab 问题2:≥ a=b
问题3:(1)中线不小于 高 (2)等差中项 等比中项 等差中项 等比中项 (3)算术平均数 几何平均数 算术平均数 几何平均数
问题4:(1)小 2√p (2)大 s 24
和有最小值 积有最大值
重点难点探究
探究一:【解析】(1)∵x>5
4,∴4x-5>0,
∴y=4x-5+1
4x-5+3.
∵4x-5+1
4x-5≥2√(4x-5)·1
4x-5=2, 当且仅当4x-5=1
4x-5,即x=3
2时,等号成立.
∴y ≥2+3=5.
故当x=3
2时,函数y=4x-2+1
4x-5取得最小值5.
(2)∵ab-3=a+b ≥2√ab ,∴ab-2√ab -3≥0且ab>0,即(√ab -1)2≥4,∴√ab ≥3,即ab ≥9(当且仅当a=b 时取等号),
∴ab 的取值范围是[9,+∞).
【小结】使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”. 探究二:【解析】∵x ,y 都是正数,
∴x 2>0,y 2>0,x 3>0,y 3>0.
∵x+y ≥2√xy >0,x 2+y 2≥2√x 2y 2>0,x 3+y 3≥2√x 3y 3>0, ∴(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥2√xy ·2√x 2y 2·2√x 3y 3=8x 3y 3,
即(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.当且仅当“x=y ”时取“=”.
【小结】多次利用基本不等式证明时,一定要注意是否每次都能保证等号成立,并且取等号的条件应当一致.
探究三:【解析】(1)把a=2代入f (x )=x+a x+1中,得f (x )=x+2x+1=x+1+2
x+1-1.
由于x ∈[0,+∞),所以x+1>0,2
x+1>0,
所以f (x )≥2√2-1,当且仅当x+1=2
x+1,即x=√2-1时,f (x )取得最小值2√2-1.
(2)因为f (x )=x+a x+1=x+1+a
x+1-1.
当且仅当x+1=a
x+1时,等式成立,即x=√a -1<0, 又x ∈[0,+∞),所以基本不等式等号取不到. 设x 1>x 2≥0,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+a
x 1
+1
-x 2-a
x 2
+1
=(x 1-x 2)·[1-a
(x 1+1)(x 2+1)
].
由于x 1>x 2≥0,所以x 1-x 2>0,x 1+1>1,x 2+1≥1,所以(x 1+1)(x 2+1)>1,而0<a<1,
所以a
(x
1+1)(x 2+1)
<1,
所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以f (x )在[0,+∞)上单调递增. 所以f (x )min =f (0)=a.
【小结】本题第(2)问要从函数的单调性或结合双勾函数来考虑,因为基本不等式等号取不到,这是用基本不等式经常碰到的问题. 全新视角拓展
【解析】∵x>2,∴f (x )=x+1
x-2=(x-2)+1
x-2+2≥2√(x-2)·1
x-2+2=4,当且仅当x-2=1
x-2,即x=3时取等号.∴a=3.
【答案】C。