其中，xi,yi为已知空间坐标，试求模型参数m1,m2,m3
解：（4）根据公式(2-24)，其解为
（2-25）
M
m1
m m2
GTG
1GT d
xi
m3
yi
xi xi2 xi yi
1
yi di
xi
yi
xi
di
yi2
yi
di
2.2.2 适定与超定问题的求解
例：趋势平面拟合问题 假设有一组观测数据di (i=1,2,…,M),它们与模型参数m1,m2,m3满足方程
其中，xi,yi为已知空间坐标，试求模型参数m1,m2,m3
解：（1） 正演方程 Gm = d 可表示为
（2-25）
1 1
x1 x2
1 xM
y1 y2
yM
m1 m2 m3
d1 d2
dM
2.2.2 适定与超定问题的求解
例：趋势平面拟合问题 假设有一组观测数据di (i=1,2,…,M),它们与模型参数m1,m2,m3满足方程
di m1 m2xi m3 yi i 1,2,...,M, M 3
其中，xi,yi为已知空间坐标，试求模型参数m1,m2,m3
解：这个解构造了一个最小二乘拟合平面 d=m1+m2x+m3y
yi
xi yi
yi2
2.2.2 适定与超定问题的求解
例：趋势平面拟合问题 假设有一组观测数据di (i=1,2,…,M),它们与模型参数m1,m2,m3满足方程
di m1 m2xi m3 yi i 1,2,...,M, M 3
其中，xi,yi为已知空间坐标，试求模型参数m1,m2,m3
E eTe (d Gm)T (d Gm) min
（2-18）
E
eT
e
M
(di
N
Gijm j ) (di
N
Gikmk ) min （2-19）
i1
j1
k 1
考虑到这是一个多元函数的极小问题，因此，可令其偏导数为0进行求解，即 令
E mq 0 q 1,2, , N
2.2.2 适定与超定问题的求解
地球物理反演
1 第一章 地球物理反演的一般理论
2
2 第二章 线性反演理论及方法
12
3 第三章非线性反演问题的线性化解法 10
4 第四章 完全非线性反演方法
6
5 第五章 位场勘探中的反演问题
2
6 第六章 电法勘探中的反演问题
2
7 第七章 地震勘探中的反演问题
2
2
课堂小结+ 作
2
课堂小结+ 作业
课堂小结+ 作业
第二章：线性反演理论与方法
主要内容：
（1）线性反演理论的一般论述 （2）线性反演问题求解的一般原理 （3）离散线性反演问题的解法
第四讲： 线性反演问题求解的一般原理
？
2.2.2 适定与超定问题的求解
GMNmN1 dM1
(M > N = r )
2.2.2 适定与超定问题的求解
Gm d
由于存在着观测误差及问题的不稳定性，求解地球物理反演问题的精确解毫无 意义。
解：（3） 形成向量GTd
（2-25）
1
x1
y1
1 x2 y2
1 xM
d1 d2
di
xi
di
yM
dM
yi
di
2.2.2 适定与超定问题的求解
例：趋势平面拟合问题 假设有一组观测数据di (i=1,2,…,M),它们与模型参数m1,m2,m3满足方程
di m1 m2xi m3 yi i 1,2,...,M, M 3
NN
M
( m jmk GijGik
j 1k 1
i1
NM
2 mj Gijdi
j1 i1
M
di di ) 0
i1
第一项偏导数
第二项偏导数
第三项偏导数
mq
(
NN
m jmk
j1k 1
M
GijGik
i1
2
mq
NM
( m j Gijdi
j1 i1
)
mq
M
( di
i1
di
)
NN
M
( jqmk kqm j ) GijGik
E eTe (d Gm)T (d Gm) min （2-18）
GTGm GTd
（2-24）
m (GTG)1GTd
2.2.2 适定与超定问题的求解
例：趋势平面拟合问题 假设有一组观测数据di (i=1,2,…,M),它们与模型参数m1,m2,m3满足方程
di m1 m2xi m3 yi i 1,2,...,M, M 3
期望得到一组与观测数据之间误差平方和为最小的预测数据所对应的模型参数， 即使得误差E为最小的解，其形式为
这称样最的小E解二是乘在法e范。T e数L2极(d小的条G件m下)T求(得d的，G因m此)称这种m方i法n为最小（L22解-1法8），也
2.2.2 适定与超定问题的求解
不失一般性，我们先假设观测数据d为M维向量，模型参数m为N维向量，且M > N，则（2-18）式的求解可转化为一个线性方程组的求解，即
j1k 1
i1
NM
2 jq Gijdi
j1 i1
NM
2 mk GiqGik
k 1 i1
M
2 Giqdi
i1
0
GTGm GTd
E mq
NM
M
2 mk GiqGik 2Giqdi
k1 i1
i1
0
GTGm GTd 0
2.2.2 适定与超定问题的求解
Gm d
(M > N = r )
考评及考试 （1）平时成绩占总评成绩的比例为40% （2）考试方式：闭卷
教材名称 ： 地球物理反演 编者 姚姚
出版社 中国地质大学出版社
第一讲：地球物理反演问题的 一般理论
主要内容：
（1） 反演问题的一般概念 （2）地球物理中的反演问题 （3）地球物理反演中的数学物理模型 （4）地球物理反演问题解的非唯一性 （5）地球物理反演问题的不稳定性与正则化概念 （6）地球物理反演问题的求解
di m1 m2xi m3 yi i 1,2,...,M, M 3
其中，xi,yi为已知空间坐标，试求模型参数m1,பைடு நூலகம்2,m3
解：（2） 形成矩阵GTG
（2-25）
1
1
1 1
x1
y1
M
xi
yi
x1
x2
xM
1
x2
y2
xi
xi2
xi
yi
y1
y2
yM
1
xM
yM
E
eT e
M
(di
N
Gijm j )
(di
N
Gikmk ) min
i1
j1
k 1
E mq 0 q 1,2, , N
E mq
mq
NN
M
( m jmk GijGik
j 1k 1
i1
NM
2 mj Gijdi
j1 i1
M
di di ) 0
i1
2.2.2 适定与超定问题的求解
E mq
mq