p i 1
n
1
p
1
由此可知


lim
p
p
x max ai
1i n
定义：设 a , b 是 n 维线性空间 V 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数 d1 , d 2 使得
d1
b

a
d 2 b , V
定理：有限维线性空间 V 上的任意两个向 量范数都是等价的。 利用向量范数可以去构造新的范数。
n
n n max aik max bkj n max aik n max bkj
i ,k k, j
A B
因此
A 为矩阵 A 的范数。
例 3 ：对于任意
AC
m n
mn
，定义
2 1 2
A
F
( aij )
i 1 j 1
可以证明 A 也是矩阵 A 的范数。我们称此 范数为矩阵 A 的Frobenious范数。 证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。 利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。 现在我们验证乘法的相容性。 ml l n 设 A C , B C ，则
AB i max
X 0
ABX X


max(
X 0
A( BX ) BX BX


X
)
max
BX 0
A( BX ) BX AX X
i
max
X 0
BX X



max
X 0

max
X 0
BX X
Ai B
因此
A i 的确满足矩阵范数的定义。
最后证明
H i 1 j 1
2
由一个例题可知此定义满足范数的性质。
Frobenious范数的性质：
（1）如果 A
1
2
2 n
n 2 2
n
，那么
A F i
i 1
（2） A
2 F
TR( A A) i ( A A)
H H i 1
（3）对于任何 m 阶酉矩阵 U 与 n 阶酉矩阵
5 0 0 H 0 9 6 A A 0 6 9 所以 A 2 15 。
练习 ：设
0 1 i 1 0 0 A i 0 0
或
1 0 0 0 1 0 A 0 0 1
分别计算这两个矩阵的 和 A F 。
H 1 H 2 H
A 1， A 2 ， A
AC A
mn

例 2 ：证明：对于任何矩阵
都有
A A
A
T 1 T 2
A
2
A2
2
A A A2
2
A2 A1 A
如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？ 定理：设 X 使得
A * 是矩阵范数，则存在向量范数
AX A * X
证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范 H 数 X X ，容易验证此定义满足向 * 量范数的三个性质，且
'
a1 , a2 ,, an , b1 , b2 ,, bn C
T T
引理（Hoider不等式）：设
n
则
ab
i 1
n
i i
( ai ) ( bi )
p 1 p q i 1 i 1
n
n
1
q
p 1, q 1 且 1 p 1 q 1 。 其中
引理（Minkowski不等式）：设
a1 , a2 ,, an , b1 , b2 ,, bn C
T T
n
则
( ai bi )
p i 1
n
1
p
( ai )
p i 1
n
1
p
( bi )
p i 1
n
1
p
其中实数 p 1 。
几种常用的范数 定义：设向量 a1 , a2 ,, an ，对任 意的数 p 1 ，称
AX AX A* X
H *
A * X
H *
例：已知矩阵范数
A * A aij
i 1 j 1
m
n
求与之相容的一个向量范数。
解：取
0 1 0 。设 T X x1 x2 xn
T
那么
X X
H *
xi X
i 1
n
1
矩阵的谱半径及其性质
0, 0 0
只
（2） 齐次性： 意数。
k k , k 为任
（3） 三角不等式：对于 V 中的任意两个 向量 , 都有
n 例 ： 在 n 维线性空间 C 中，对于任意的 n 向量 (a1 , a2 ,, an ) C 定义
AX

A

X

则称矩阵范数 A 与向量范数 X 是相容 的。 例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范 数是相容的. 1 证明 : 因为 m n 2
A
F
( aij )
2 i 1 j 1
X
2
( xi )
i 1
n
2 12
(X X )
H
12
根据Hoider不等式可以得到
AX X
2 2 2 2 2
例 2 ：设
mn
，用 A 相对
0 只有
（2） 齐次性： kA k A , k 为任 意复数。 （3） 三角不等式：对于任意两个同种形 状矩阵 A, B 都有
A B A B
（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以 相乘的矩阵 A, B ，都有
AB A B 那么我们称 A 是矩阵 A 的范数。
例 1：对于任意
AC
m
mn
，定义
A aij
i 1 j 1
n
可以证明如此定义的 数。
A 的确为矩阵 A 的范
证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的 四条性质即可。非负性，齐次性与三角不 等式容易证明。现在我们验证乘法的相容 m p pn , B C ，则 性。设 A C
AB aik bkj aik bkj
例 ：设 b 是 C m 上的向量范数，且 mn A C , rank ( A) n ，则由

a
A b , C
n
a 是 C n 上的向量范数。 所定义的
例 ： 设 V 数域 F 上的 n 维线性空间，
中的任意一个向量 可唯一地表示成
n i 1
1 , 2 ,, n 为其一组基底，那么对于 V
矩阵分析
• 主讲教师：魏丰
第五章
向量与矩阵的范数
定义： 设 V 是实数域 R （或复数域 C ）上 的 n 维线性空间，对于 V 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 实数称为 的范数，记为 ，并且要求 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 有且仅有当 0,
m
n
n
A
X
2 2
于是有
AX
例 2 ：设
2
A
F
X
2
X 是向量的范数，则
A i max
X 0
AX X

满足矩阵范数的定义，且 A i 是与向量范 X 相容的矩阵范数。 证明：首先我们验证此定义满足范数的四 条性质。非负性，齐次性与三角不等式易 证。现在考虑矩阵范数的相容性。
设 B 0 ，那么
A i 与 X 是相容的。
AX X

由上面的结论可知
Ai AX
这说明

Ai X
A i 与 X 是相容的。
定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范 数 X 所诱导的诱导范数或算子范数。由
向量 P--范数 X 阵P--范数。即
p
所诱导的矩阵范数称为矩
A
p
max
X 0
AX X


max ai
1i n
证明：令
x max ai
1i n
，则
yi
于是有
ai x
, i 1,2,, n
n 1

另一方面
p
x( yi )
p i 1
n p
p
1 yi n
i 1
1 ( yi )
p i 1
n
1
p
n
1
p
故
p
lim( yi )
AX
m
2 2
aij x j ( aij x j )
i 1 j 1 i 1 j 1 n 2 n 2
m
n
2
m
n
2
[( aij )( x j )]
i 1 j 1 j 1
( aij )( x j )
2 2 i 1 j 1 2 F j 1
V 都有等式 H A F UA F A
F
AV
F
UAV
F
关于矩阵范数的等价性定理。 定理：设 A , A 是矩阵 A 的任意两 种范数，则总存在正数 d1 , d 2 使得
d1 A

A d 2 A , A C
m n
诱导范数
定义：设 X 是向量范数， A 是矩阵范 数，如果对于任何矩阵 A 与向量 X 都有
i 1 j 1 k 1 p i 1 j 1 k 1