北京理工大学2017-2018学年第一学期
2017级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题
一、（10分）设线性变换f 在基123[1,1,1],[1,0,1],[0,1,1]
ααα=-=-=下的矩阵表示为101110123A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
（1）求f 在基123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]εεε===下的矩阵表示。

（2）求f 的核与值域。

二、（10分）求矩阵20000i A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的奇异值分解。

三、（10分）求矩阵111222111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
的谱分解。

四、（15分）已知(1)n u R n ∈>为一个单位列向量，令T A I uu =-，证明
（1）21A =；
（2）对任意的X R ∈，如果有AX X ≠，那么22AX X <。

五、（15分）已知矩阵1212a A a ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
，
（1）问当a 满足什么条件时，矩阵幂级数121()k k k A ∞
=+∑绝对收敛？
（2）取a = 0，求上述矩阵幂级数的和。

七、（20分）求下列矩阵的矩阵函数2,sin ,cos tA e A A π
π
300030021
01300103123001013000301
00013()()()A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 八、（5分）已知
sin 53sin 2sin 52sin sin 5sin sin sin 5sin 2sin 52sin sin 5sin sin 5sin 2sin 52sin sin 53sin t t t t t t tA t t t t t t t t t t t t +--⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦
求矩阵A 。

九、（5分）已知不相容线性方程组
141223341
10
x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩
求其最佳最小二乘解。

十、（10分）已知Hermite 二次型
12312132131(,,)f x x x ix x x x ix x x x =+-+
求酉变换X UY =将123(,,)f x x x 化为标准型。