分层训练(二)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．
若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]
2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的________条件．
必要不充分[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]
3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．
充分必要[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分必要条件．]
4．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
导学号：62172008 2[由a＞bD ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.
所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．
从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]
5．“m＜1
4”是“一元二次方程x
2＋x＋m＝0有实数解”的________条件.
导学号：62172009
充分不必要[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤1
4，因为m＜1
4⇒m≤
1
4
，反之不成立．
故“m＜1
4”是“一元二次方程x
2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]
6．给出下列命题：
①“若a2<b2，则a<b”的否命题；
②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；
④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
③④[对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]
7．(2017·金陵中学期中)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
必要不充分[当a>2且b>2时，a＋b>4.
但当a＝1，b＝6时，有a＋b＝7>4，
故“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．]
8．“sin α＝cos α”是cos 2α＝0的________条件．
充分不必要[∵cos 2α＝cos2α－sin2α，
∴若sin α＝cos α，则cos 2α＝0，反之不一定，如当cos α＝－sin α时也成立．]
9．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是________.
导学号：62172010
若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 [“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．]
10．若x ＜m －1或x ＞m ＋1是x 2－2x －3＞0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．
[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3＞0}{x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}，
又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜m －1，m ＋1≤3，
∴0≤m ≤2.] 二、解答题
11．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解] (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．
该命题是真命题，证明如下：
因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .
又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．
所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，
因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，
所以否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )
＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.
该命题是真命题，证明如下：
因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，
因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，
所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围. 导学号：62172011
[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，
∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．
∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，
∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，
解得m ≥34或m ≤－34，
故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞. B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·南通第一次学情检测)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|F (x )|的图象
关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”)
必要不充分 [“y ＝f (x )是奇函数”，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；反之若f (x )＝x 2，则y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但y ＝f (x )是偶函数．]
2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集．
又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1＜1或⎩⎪⎨⎪⎧
－a －1＞－3，－a ＋1≤1，
解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]
3．求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.
[证明] 必要性：
若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，
则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，
∴a ＋b ＋c ＝0.
充分性：
若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，
∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0，
∴(ax －c )(x －1)＝0，
∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，
∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．
综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b ＋c ＝0.
4．(2017·南通第一次学情检测)已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上递减；
q ：函数f (x )＝x 2－c 2的最小值不大于－116.如果p ，q 均为真命题，求实数c 的取
值范围．
[解] 因为c >0，p ：函数y ＝c x 在R 上递减，
所以p 为真时，0<c <1；q 为真时，－c 2≤－116，
所以c ≤－14或c ≥14，
因为c >0，所以c ≥14.
因为p ，q 均为真命题，所以⎩⎨⎧ 0<c <1，
c ≥14，
解得14≤c <1，
所以，实数c 的取值范围为14≤c <1.。